![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •§ 13. Определения Коши и Гейне предела функции, их эквивалентность. Критерий Коши существования предела
- •§ 14. Односторонние пределы
- •§ 15. Арифметические операции над функциями, имеющими предел
- •§ 16. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Первый замечательный предел
- •§ 17. Второй замечательный предел и его следствия
- •§ 18. Определение непрерывности функции. Арифметические операции над непрерывными функциями. Непрерывность сложной функции. Точки разрыва функции, их классификация
- •§ 19. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •§ 20. Равномерная непрерывность функций
§ 14. Односторонние пределы
Определение 1 (Гейне). ЧислоА
называетсяправым пределом функциив точке
(или пределом функции
в точке
справа), если для любой последовательности
значений аргумента
,
сходящейся к
и такой, что
,
соответствующая последовательность
значений функции
сходится к числуА.
Определение 2 (Коши). ЧислоА
называетсяправым пределом функциив точке
(или пределом функции
в точке
справа), если для любого
найдется
,
такое, что для всех значений аргументах, удовлетворяющих неравенству
,
выполняется неравенство
.
Пишут:
,
а если
,
то
,
или, короче,
и
.
Совершенно аналогично даются определения
односторонних пределов слева. Пишут:
или
.
Пример 1. ПустьТогда
,
,
поэтому
не существует.
Имеет место
Теорема 1. Для того чтобы функцияимела предел в точке
,
необходимо и достаточно, чтобы она имела
в этой точке равные односторонние
пределы. При этом
.
Это достаточно очевидно.
Введем теперь понятие предела функции на бесконечности.
Определение 3 (Гейне). ЧислоА
называется пределом функциипри
,
если для любой бесконечно большой
последовательности
последовательность значений
сходится к числуА.
Определение 4 (Коши). ЧислоА
называется пределом функциипри
,
если для любого
найдется
,
такое, что для всех значений аргументах, удовлетворяющих неравенству
,
выполняется неравенство
.
Пишут:
.
Докажем, например, что
.
Пусть
– произвольная бесконечно большая
последовательность. Тогда, как известно,
– бесконечно малая последовательность,
поэтому
по определению 3.
Аналогично теореме 1 § 13 можно доказать
эквивалентность определений 3 и 4.
Справедлив также критерий Коши
существования предела функции, когда
.
Подобным же образом определяются пределы
функции при
и
по Коши и по Гейне.
§ 15. Арифметические операции над функциями, имеющими предел
Теорема 1. Пусть функциии
заданы на одном и том же множествеХ
и имеют в точке
пределы, равные соответственноа иb. Тогда
.
Доказательство. Пусть–
произвольная сходящаяся к
последовательность,
.
Тогда, в силу определения предела функции
в точке
по Гейне,
и по свойствам сходящихся последовательностей
,
.
Так как последовательность
выбиралась
произвольно, то, в силу определения предела по Гейне, теорема доказана.
Аналогичные теоремы имеют место в
случае, когда
,
,
и для односторонних пределов.
Пример 1. С помощью теоремы 1 вычисляются следующие пределы:
– доказывается методом математической
индукции,
,
при условии, что
,
.
Заметим, что для действительных функций имеют место теорема о промежуточной переменной и переход к пределу в неравенствах. Доказываются они с помощью соответствующих утверждений для последовательностей и определений предела по Гейне.
§ 16. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Первый замечательный предел
Определение 1. Функцияназываетсябесконечно малой в
окрестности точки
,
если
.
Например,
– бесконечно малая функция в окрестности
точки
,
так как
.
Теорема 1. Для того чтобы,
необходимо и достаточно, чтобы имело
место представление
,
где
– бесконечно малая в окрестности точки
функция.
Доказательство. Необходимость.
Пусть.
Положим
.
Тогда
– бесконечно малая в окрестности точки
функция и
.
Достаточность. Пусть,
где
– бесконечно малая в окрестности точки
функция. Тогда
.
Теорема доказана.
Остановимся на сравнении бесконечно малых функций.
Определение 2. Говорят, что функциии
являютсяэквивалентными бесконечно малыми в окрестности
точки
функциями, если
.
Пишут:
~
при
.
Определение 3. Говорят, что функциии
являются в окрестности точки
бесконечно малыми функциямиодного
порядка, если
.
Если же
,
то говорят, что
является в окрестности точки
бесконечно малойболее высокого
порядка, чем
.
Покажем, что
при
.
Теорема 2 (первый замечательный
предел). Справедливо равенство.
Д
С
В
D
A
.
Видим, что
Имеем
. (16.1)
,(16.2)
,
(16.3)
О
x
.
(16.4)
Из (16.1)–(16.4) получаем
.
Разделив последнее неравенство на
,
получим
.
(16.5)
Разделив
на
каждую из частей этого неравенства,
имеем
.
(16.6)
Поскольку
(см.
(16.5))
и
,
по
Теореме о промежуточной переменной
,
то есть
.
А так как
– функция четная, то
.
Поэтому
. (16.7)
Учитывая, что неравенство (16.6) сохраняется
и для
в силу четности всех входящих в него
функций, из (16.7) и теоремы о промежуточной
переменной получаем
.
Теорема доказана.
Установим теперь следствия первого
замечательного предела. Покажем, что
при
.
Имеем
при
;
при
;
при
;
при
.
При раскрытии неопределенностей типа
полезна
Теорема 3. Если– бесконечно малые функции в окрестности
точки
и
,
то
.
Доказательство. Имеем
.
Теорема доказана.
Например,
.
Замечание. В тех случаях, когда в
числителе или знаменателе записана
сумма, при раскрытии неопределенностей
нельзя заменять отдельные слагаемые
эквивалентными функциями, так как такая
замена может привести к неверному
результату. Например, в пределенельзя заменить
на
и
нах, так как получается выражение
,
не имеющее смысла. Правильно вычислять
предел так:
.
Рассмотрим теперь бесконечно большие функции.
Определение 4. Если для любой
последовательности значений аргумента,
сходящейся к
,
то говорят, что функция
имеет в точке
бесконечный предел, а функцию
называютбесконечно большой при
.
Пишут:
.
Можно дать равносильное
Определение
.
Говорят, что функция
имеет в точке
бесконечный предел, если для любого
числа
найдется такое число
,
что для всех значений
,
удовлетворяющих неравенству
,
выполняется неравенство
.
В этом случае
называется бесконечно большой функцией
в точке
.
Аналогично определяются соотношения
,
.
Сравнивают бесконечно большие функции так же, как и бесконечно малые функции.
Определение 5. Еслии
– бесконечно большие функции при
и
,
то говорят, что
– бесконечно большаяболее высокого
порядка, чем
.
Говорят, что функции
и
имеют
одинаковый порядок роста, если
.
Например, для функций
и
,
бесконечно больших при
,
имеем
,
поэтому функции
и
имеют одинаковый порядок роста.