- •§ 13. Определения Коши и Гейне предела функции, их эквивалентность. Критерий Коши существования предела
- •§ 14. Односторонние пределы
- •§ 15. Арифметические операции над функциями, имеющими предел
- •§ 16. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Первый замечательный предел
- •§ 17. Второй замечательный предел и его следствия
- •§ 18. Определение непрерывности функции. Арифметические операции над непрерывными функциями. Непрерывность сложной функции. Точки разрыва функции, их классификация
- •§ 19. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •§ 20. Равномерная непрерывность функций
§ 17. Второй замечательный предел и его следствия
Теорема 1 (2-й замечательный предел). Справедливо равенство, где.
Доказательство. Воспользуемся известным пределом. Докажем
сначала, что . Обозначим целую частьхчерезn:. Тогдаи, следовательно,и. Из неравенств
иследует, что
.
Из неравенств иследует, что
.
Таким образом,
, где.
Поскольку ,
и при и, по теореме о промежуточной переменной имеем, что.
Рассмотрим теперь . Положим. Когда, тои
=====
==.
Таким образом, и . Значит, мы доказали, что. Теорема доказана.
Обозначим . Если, тои 2-й замечательный предел примет вид.
Следствия. 1). В частности,.
2) . В частности,.
3) .
Доказательство. 1).
При получаем частный случай.
2) Положим при. Отсюда. Поэтому
. Приполучаем частный случай.
3) Заметим, что , поэтому. Тогда. Следствия доказаны.
Из следствий имеем: при ,.
Примеры.
1) .
2) .
§ 18. Определение непрерывности функции. Арифметические операции над непрерывными функциями. Непрерывность сложной функции. Точки разрыва функции, их классификация
Определение 1. Пусть функцияопределена на промежуткеХи. Функцияназываетсянепрерывной в точке, если
. (18.1)
Равенство (18.1) можно записать иначе: , то есть для непрерывной функции знаки предела и функции можно поменять местами.
Очевидно, что о непрерывности функции можно говорить лишь по отношению к тем точкам , в которых функция определена, то есть существует.
Пользуясь двумя определениями предела функции, можно дать определения непрерывности функции на языке последовательностей и на языке .
Определение 2. Функцияназывается непрерывной в точке, если для любой последовательностизначений аргументах, сходящейся к, последовательность соответствующих значений функциисходится к.
Определение 3. Функцияназывается непрерывной в точке, если для любогонайдется, такое, что для всехх, удовлетворяющих неравенству, выполняется неравенство.
Определения 2 и 3 эквивалентны в силу теоремы 1 § 13.
Дадим еще одно определение непрерывности функции в точке – на языке приращений. Для этого положим и назовем эту величинуприращением аргументах, а–приращением функции в точке.
Определение 4. Функцияназывается непрерывной в точке, если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции, то есть.
Последнее условие означает, что , или, или, то есть определение 4 равносильно определению 1, а значит и определениям 2 и 3.
Определение 5. Функцияназывается непрерывной в точкесправа (слева), если().
Теорема 1. Функциянепрерывна в точкетогда и только тогда, когда она непрерывна в этой точке одновременно и справа, и слева.
Доказательство. Посколькусуществует тогда и только тогда, когда существуют и равны односторонние пределыи, причем= ==, тотогда и только тогда, когда==. Теорема доказана.
Определение 6. Функцияназывается непрерывной на промежуткеХ, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
Если , то при этом подразумевается непрерывностьв точкесправа, а в точке– слева.
Теорема 2. Если функцииинепрерывны в точке, то функциитоже непрерывны в точке. Если, кроме того,, то и функциянепрерывна в точке.
Доказательство. Следует из теоремы 1 § 15 и определения 1 непрерывности функции в точке. Например,, что и означает непрерывность функцийв точке. Остальные случаи рассматриваются аналогично. Теорема доказана.
Теорема 3 (о непрерывности сложной функции). Пустьи пусть существует окрестность точки, в которой определена сложная функция. Если функциянепрерывна в точке, а функциянепрерывна в точке, то сложная функциянепрерывна в точке.
Доказательство. В указанной в условии теоремы окрестности возьмем любую последовательность точек, сходящуюся к точке, и пусть. Тогда, в силу непрерывностив точке,, то есть последовательность точексходится к точке. Поэтому, в силу непрерывностив точке,, то есть.
Теорема доказана.
Определение 7. Точканазываетсяточкой разрыва функции, еслиопределена в некоторой проколотой окрестности точкии не выполняется условие
.
В этом случае говорят также, что функция является разрывной в точке, или терпит разрыв в точке, или имеет разрыв в точке.
Различают три типа точек разрыва.
1) Устранимый разрыв.
Определение 8. Точканазывается точкойустранимого разрыва функции, если существует конечный, но либо функция не определена в точке, либо.
Пример 1. Функцияимеет устранимый разрыв в точке,
так как . Этот разрыв можно устранить, изменив значение функции в точкеи положив.
Вообще, если в точке функцияимеет устранимый разрыв, то достаточно положить, чтобы функция стала непрерывной в точке. Иными словами, для восстановления непрерывности в точкенадо изменить значениев этой точке, если, или доопределитьв точке, если.
2) Разрыв 1-го рода.
Определение 9. Точканазывается точкойразрыва 1-го рода функции, если существуют конечные односторонние пределыи, но. Разностьназываютвеличиной скачка в точке.
Пример 2. ПустьТогда= –1,.иконечны, но не равны, поэтому точка– точка разрыва 1-го рода. Величина скачка равна–= –1 – 0 = –1.
3) Разрыв 2-го рода.
Определение 10. Точканазывается точкойразрыва 2-го рода функции, если хотя бы один из односторонних пределовине существует или бесконечен.
Пример 3. Пусть. Поскольку, точка– точка разрыва 2-го рода.
Заметим, что , то есть бесконечен один односторонний предел.
Пример 4. Пусть. Тогдане существует, поэтому– точка разрыва 2-го рода.
При исследовании функций на непрерывность полезна
Теорема 4. Любая элементарная функция непрерывна в области своего определения.
Без доказательства.
Напомним, что элементарной функцией называется всякая функция, которая может быть явным образом задана с помощью формулы, содержащей лишь конечное число арифметических операций и композиций основных элементарных функций и постоянных, а основными элементарными функциями являются степенная , показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические функции.
Пример 5. Исследуем на непрерывность, непрерывность слева и справа, установим тип точек разрыва функции
Решение. Заметим, что. Поскольку функция не определена прии при, можно говорить только о непрерывности справа в точкеи о непрерывности слева в точке. Имеем
функциянепрерывна справа в точке;
функциянепрерывна слева в точке.
Если , то– непрерывна как элементарная функция по теореме 4. Поскольку, то в точкефункцияимеет разрыв 2 рода, причем она имеет разрыв 2 рода в этой точке и слева, и справа.
Если , то– непрерывна как элементарная функция.
Если , то– непрерывна как элементарная функция.
Если , то,,, т. е.
существует , поэтому функциянепрерывна в точке.
Если , то,,, т.е. в точкеодносторонние пределы существуют, но не равны, поэтому в этой точке функцияимеет разрыв 1 рода, величина скачка равна 1. Поскольку, то функцияв точкенепрерывна слева.
Таким образом, функция непрерывна на множестве, непрерывна справа в точке, непрерывна слева в точкахи, имеет разрыв 2 рода в точкеи разрыв 1 рода в точке, величина скачка в этой точке равна 1.
Теорема 5 (о точках разрыва монотонной функции). Если функциямонотонна на интервале, точкаявляется точкой разрыва, тос– точка разрыва 1-го рода.
Д
• • •
Таким образом, доказано существование .
Аналогично доказывается существование.
В силу существования и,с– точка разрыва 1 рода.
Аналогично рассматривается случай невозрастающей функции.
Теорема доказана.
Таким образом, монотонная функция может иметь только точки разрыва 1-го рода.