§ 13. Определения Коши и Гейне предела функции, их эквивалентность. Критерий Коши существования предела

Определение 1. ПустьЕ – бесконечное множество. Если любая окрестностьсодержит точки множестваЕ, отличные от точкиа, тоа называетсяпредельной точкой множестваЕ.

Определение 2. (Генрих Гейне (1821-1881)). Пусть функцияопределена на множествеХ и– предельная точка этого множества. ЧислоА называетсяпределом функциив точке(или при, если для любой последовательности значений аргумента, сходящейся ки состоящей из чисел, отличных от, соответствующая последовательность значений функциисходится к числуА. Пишут:.

Примеры. 1) Функцияимеет предел, равныйс, в любой точке числовой прямой.

Действительно, для любой точки и любой последовательности значений аргумента, сходящейся ки состоящей из чисел, отличных от, соответствующая последовательность значений функции имеет вид, а мы знаем, что эта последовательность сходится кс. Поэтому.

2) Для функции .

Это очевидно, так как если , то и.

3) Функция Дирихле не имеет предела ни в одной точке.

Действительно, пусть и, причем все– рациональные числа. Тогдадля всехn, поэтому. Если жеи все– иррациональные числа, тодля всехn, поэтому. Мы видим, что условия определения 2 не выполняются, поэтомуне существует.

4) .

Действительно, возьмем произвольную последовательность , сходящуюся к

числу 2. Тогда . Что и требовалось доказать.

Определение 3. (Коши (1789-1857)). Пусть функцияопределена на множествеХ и– предельная точка этого множества. ЧислоА называетсяпределом функциив точке(или при, если для любогонайдется, такое, что для всех значений аргументах, удовлетворяющих неравенству

,

справедливо неравенство

.

Пишут: .

Определение Коши можно дать и с помощью окрестностей, если заметить, что , а:

пусть функция определена на множествеХ и– предельная точка этого множества. ЧислоА называется пределом функциив точке, если для любой-окрестности точкиА найдется проколотая- окрестность точки,такая, что.

Это определение полезно проиллюстрировать рисунком.

Пример 5..

Действительно, возьмем произвольно и найдем, такое, что для всехх, удовлетворяющих неравенствувыполняется неравенство. Последнее неравенство равносильно неравенству, поэтому видим, что достаточно взять. Утверждение доказано.

Справедлива

Теорема 1. Определения предела функции по Гейне и по Коши эквивалентны.

Доказательство. 1) Пустьпо Коши. Докажем, что это же число является пределом и по Гейне.

Возьмем произвольно. Согласно определению 3 существует, такое, что для всехвыполняется неравенство. Пусть– произвольная последовательность такая, чтопри. Тогда существует номерNтакой, что для всехвыполняется неравенство, поэтомудля всех, т.е.по Гейне.

2) Пусть теперь по Гейне. Докажем, чтои по Коши.

Предположим противное, т.е. что по Коши. Тогда существуеттакое, что для любогонайдется,и. Рассмотрим последовательность. Для указанногои любогоnсуществуети. Это означает, что, хотя, т.е. числоАне является пределомв точкепо Гейне. Получили противоречие, которое и доказывает утверждение. Теорема доказана.

Теорема 2 (о единственности предела). Если существует предел функции в точке, то он единственный.

Доказательство. Если предел определен по Гейне, то его единственность вытекает из единственности предела последовательности. Если предел определен по Коши, то его единственность вытекает из эквивалентности определений предела по Коши и по Гейне. Теорема доказана.

Аналогично критерию Коши для последовательностей имеет место критерий Коши существования предела функции. Прежде чем его сформулировать, дадим

Определение 4. Говорят, что функцияудовлетворяет условию Коши в точке, если для любогосуществует, такое, что для любых значений, таких, чтои, выполняется неравенство.

Теорема 3 (критерий Коши существования предела). Для того чтобы функцияимела в точкеконечный предел, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке функция удовлетворяла условию Коши.

Доказательство.Необходимость. Пусть. Надо доказать, чтоудовлетворяет в точкеусловию Коши.

Возьмем произвольно и положим. По определению предела длясуществует, такое, что для любых значений, удовлетворяющих неравенствами, выполняются неравенстваи. Тогда

. Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть функцияудовлетворяет в точкеусловию Коши. Надо доказать, что она имеет в точкеконечный предел.

Возьмем произвольно. По определению 4 найдется, такое, что из неравенств,следует, что– это дано.

Покажем сначала, что для всякой последовательности , сходящейся к, последовательностьзначений функции сходится. Действительно, если, то, в силу определения предела последовательности, для заданногонайдется номерN, такой, что для любыхи. Посколькув точкеудовлетворяет условию Коши, имеем. Тогда по критерию Коши для последовательностей последовательностьсходится. Покажем, что все такие последовательностисходятся к одному и тому же пределу. Предположим противное, т.е. что есть последовательностии,,, такие, что. Рассмотрим последовательность. Ясно, что она сходится к, поэтому по доказанному выше последовательностьсходится, что невозможно, так как подпоследовательностииимеют разные пределыи. Полученное противоречие показывает, что=. Поэтому по определению Гейне функция имеет в точкеконечный предел. Достаточность, а значит и теорема, доказаны.