Тема 2. Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

Существование и единственность решения системы линейных алгебраических уравнений. Прямые и итерационные методы решения систем линейных уравнений. Метод Гаусса, описание алгоритма прямого и обратного хода для системы из nуравнений. Построение блок-схемы метода. Метод главного элемента. Погрешности решений. Уточнение решения итерационным путем. Достижимая точность решения. Итерационные методы решения систем линейных уравнений. Метод Гаусса-Зайделя. Сходимость итерационных методов. Условия сходимости метода Гаусса-Зайделя. Сравнение методов.

Тема 3. Методы интерполирования.

Приближение функций. Аппроксимация и интерполяция. Интерполяционные многочлены. Дробно-рациональное приближение функций. Линейное и квадратичное интерполирование. Интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона. Конечные разности.. Полиномы Чебышева. Сравнительная характеристика методов интерполяции.

Тема 4. Численное дифференцирование.

Конечные разности различных порядков. Использование степенных рядов, полиномов Лагранжа и Ньютона для численного дифференцирования. Вычисление производных высших порядков. Метод Рунге-Ромберга. Быстропеременные функции. Регуляризация дифференцирования.

Тема 5. Численное интегрирование.

Постановка задачи. Метод трапеций. Ошибки ограничения и округления. Их оценки. Формула Симпсона. Оценка погрешности квадратурных формул. Метод Гаусса. Задача оптимизации распределения узлов и квадратур. Метод Монте-Карло для вычисления интегралов. Оценка погрешности.

Тема 6. Численное решение нелинейных уравнений.

Исследование уравнений. Метод последовательных приближений. Условия сходимости метода. Геометрическое описание. Метод Ньютона решения нелинейных уравнений. Асимпототическая скорость сходимости метода. Решение задачи минимизации функционала. Метод спуска. Сравнение методов и их ошибок округления. Сведение многомерных задач к задачам меньшей размерности. Стационарные задачи. Метод установления для их решения. Упрощение алгебраических уравнений путем выделения множителей. Интерполяционные методы решения уравнений, основанные на интерполировании функции и обратной функции. Корни многочленов. Правило Горнера. Влияние погрешностей коэффициентов многочлена на результат.

Тема 7. Численное решение дифференциальных уравнений.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями. Одношаговые методы с разложением решения в ряд Тейлора. Порядок точности методов. Методы Рунге-Кутта (равного порядка точности). Методы с контролем погрешности на шаге. Оценки погрешности одношаговых методов. Конечно-разностные методы неопределенных коэффициентов. Оценка погрешности методов. Особенности интегрирования систем уравнений и методы численного интегрирования уравнений второго порядка. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений с краевыми условиями. Многоточечные и граничные задачи, метод дифференциальной прогонки. Решение нелинейных граничных задач. Метод редукции к задачам Коши и метод линеаризации. Сходимость методов.

Тема 8. Численное решение интегральных уравнений.

Интегральные уравнения Фредгольма и Вольтера. Вид вычислительного правила для уравнений Вольтера и сходимость вычислительного процесса. Метод вычислений, основанный на формуле Эйлера-Маклорена, точность метода. Метод квадратур для решения уравнений Фредгольма, его сходимость. Интерполяционный квадратурный метод.

5. Вопросы для самостоятельного изучения

Все вопросы программы студенты изучают самостоятельно (планируется 86 часов), на лекциях и лабораторных работах даются направления изучения основных тем. Основная форма отчетности студентов – выполнение заданий, предложенных в контрольных работах.

5. Перечень лабораторных работ.

№ темы	Всего часов	№ работы	Наименование лабораторной работы. Вопросы, отрабатываемые на лабораторном занятии.
1	2	1	Погрешности вычислений
2	4	2	Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
5	2	3	Численное интегрирование
7	4	4	Численное решение дифференциальных уравнений