Приложение 2. Методические указания образец выполнения задания

y ' = 1 + 0,2y sin x - 1,5y² = f (x , y) , y (0) = 0 , x  [0 , 1] , h = 0,1.

_______________________________________________________________

1. Определим сначала y₁ = y (0,1), y₂ = y (0,2) (начальный отрезок) методом Рунге-Кутта. При этом значения y_{i +1} = y (x_{i +1}), где x_{i +1} = x_i + h ,

находятся по формулам:

y_{i +1} = y_i +  y_{i ,}

1

y_i = (k₁^{( i )} + 2 k₂^{( i )} + 2 k₃^{( i )} + k₄^{( i )}) ,

6

где k₁^{( i )} = hf ( x_i , y_i ) ,

h k₁^{( i )}

k₂^{( i )} = hf ( x_i + , y_i + ) ,

2 2

h k₂^{( i )}

k₃^{( i )} = hf ( x_i + , y_i + ) ,

2. 2

k₄^{( i )} = hf ( x_i + h , y_i + k₃^{( i )} ).

Все вычисления будем располагать в таблице (см. табл. 1)

ТАБЛИЦА 1

x y (x) sin x 0,2y sin x -1,5y² f (x , y) hf (x , y) y

0 0 0 0 0 1 0,1 0,1000

0,05 0,05 0,0500 0,0005 -0,0038 0,9967 0,0997 0,1994

0,05 0,0498 0,0500 0,0005 -0,0037 0,9968 0,0997 0,1994

0,10 0,0997 0,0998 0,0020 -0,0149 0,9871 0,0987 0,0987

0,0996

0,10 0,0996 0,0998 0,0020 -0,0149 0,9871 0,0987 0,0987

0,15 0,1490 0,1494 0,0045 -0,0333 0,9712 0,0971 0,1942

0,15 0,1482 0,1494 0,0044 -0,0329 0,9715 0,0972 0,1944

0,20 0,1968 0,1987 0,0078 -0,0581 0,9497 0,0950 0,0950

0,0970

0,20 0,1966 0,1987 0,0078 -0,0580 0,9498

2. Вычисление последующих значений y_i = y (x_i ), где x_i = x₀ + ih (i = 3,

4,…), производим по формуле Адамса со вторыми разностями

1 5

y_{i +1} = c + q_i + q_{i -1} +  ² q_{i -2} , где q_i = hf ( x_i , y_i ) .

2. 12

Вычисления производим в следующих таблицах (табл.2,3,4).

Таблица 2 содержит окончательные значения y (x_i ) и значения конечных разностей, имеющихся в вычислительной формуле.

ТАБЛИЦА 2

i x_i y_i f ( x_{i ,} y_i ) q_i = hf_i  q_i ² q_i

0 0 0 0,1000 0,10000 -0,00129 -0,00244

1 0,1 0,0996 0,9871 0,09871 -0,00373 -0,00204

2 0,2 0,1966 0,9498 0,09498 -0,00577 -0,00154

3 0,3 0,2887 0,8921 0,08921 -0,00731 -0,00088

4 0,4 0,3742 0,8190 0,08190 -0,00819 -0,00035

5 0,5 0,4518 0,7371 0,07371 -0,00854 0,00008

6 0,6 0,5210 0,6517 0,06517 -0,00846 0,00049

7 0,7 0,5818 0,5671 0,05671 -0,00797 0,00067

8 0,8 0,6343 0,4874 0,04874 -0,00730 -

9 0,9 0,6792 0,4144 0,04144 - -

10 1,0 0,7173 - - - -

В таблице 3 выполняются расчёты, соответствующие формуле Адамса со вторыми разностями.

ТАБЛИЦА3

i 2 3 4 5

y_i 0,1966 0,28870 0,37418 0,45178

q_i 0,09498 -0,08921 -0,08190 -0,07371

1

q_{i -1} -0,00186 -0,00288 -0,00366 -0,00410

2

5

q_{i –2} -0,0102 -0,00085 -0,00064 -0,00037

12

y_{i +1} 0,28870 0,37418 0,45178 0,52102