3 Модуль

7. Методы численного решения дифференциальных уравнений и краевых задач

19). Формулировка краевой задачи.

Основные методы решения: аналитические, приближенные методы, метод возмущения, метод малого параметра, метод минимизации невязок, метод коллокаций, метод Галеркина, численные методы решения.

Метод конечных разностей и метод конечных элементов.

8. Применение мкр для решения задач с обыкновенными дифференциальными уравнениями.

20). Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

21). Одношаговые методы.

Метод Эйлера, оценка устойчивости.

22). Метод Рунге-Кутты.

Многошаговые методы.

Метод Адамса.

9. Применение мкр для решения дифференциальных уравнений в частных производных

23). Решение волнового уравнения.

Явная схема.

Неявная схема.

24). Решение уравнения теплопроводности

Явная схема.

Неявная схема.

25). Решение уравнения Лапласа.

26). Сверхбыстрый метод Хокни решения уравнения Пуассона.

10. Метод конечных элементов

27). Основные этапы реализации метода.

Разбиение области на элементы, определение аппроксимирующих функций, объединение функций в ансамбль, построение функционала.

28). Решение систем линейных уравнений.

Одномерный и двумерный случаи.

29). Решение уравнения теплопроводности.

4 Модуль

11. Вариационные методы

30). Вариационные принципы уравнения Эймера – Лагранжа и минимум определенного интеграла.

31). Методы Ритца и Галеркина.

Примеры применения.

12. Методы численной оптимизации

32). Постановка задачи.

Одномерная оптимизация.

Аналитический метод.

Метод прямого перебора, метод деления отрезка пополам.

33). Многомерная оптимизация.

Аналитический метод.

Метод полного перебора.

Метод покоординатного спуска.

Градиентный метод.

34). Симплексный метод применительно к нелинейным функциям.

35). Последовательный случайный поиск.

Глобальный случайный поиск .

Метод эволюционного поиска.

36. Обобщенная функция желательности как критерий оптимизации.

3.2. Вопросы для самостоятельного изучения

Тема 1. Относительные и абсолютные ошибки

Определение абсолютных и относительных ошибок при сложении, вычитании, умножении , делении.

Методы округления.

Тема 2. Полиномы Лежандра.

Избыточные сплайны

Сглаживание экспериментальных данных.

Тема 3. Метод неопределенных коэффициентов для построения формул численного дифференцирования.

Тема 4. Формула Рунге для практической оценки погрешности в задачах численного интегрирования.

Тема 5. Метод редукции при решении систем линейных уравнений.

Тема 6. Сравнительный анализ основных методов решения.

Тема 8. Метод стрельбы решения краевой задачи для уравнений II-го порядка.

Тема 9. Теорема о сходимости разностного решения к точному.

Тема 10. Модификация метода конечных элементов.

Тема 11. Получение уравнений Эйлера-Лагранжа для случая многих переменных.

Тема 12. Сравнительный анализ методов оптимизации

4. Перечень лабораторных работ

1. Методы интерполяции функций.

2. Методы численного дифференцирования.

3. Методы численного интегрирования.

4. Решение систем линейных алгебраических уравнений.

5. Численное решение нелинейных уравнений.

6. Численные методы решения дифференциальных уравнений.

7. Симплексный метод оптимизации.

4. Курсовая работа (проект)

В курсовой работе предусматривается создание математического программного обеспечения в соответствии с тематикой лекций и методическими указаниями.

6. Литература

Основная литература

1. Ершов Ю.Л. Определимость и вычислимость. -М., Экономика, 2000

2. Бахвалов Н.С. и др. Численные методы в задачах и упражнениях. -М., ВШ, 2000

3. Бояршинов М.Г. Численные методы. -Пермь, ПГТУ, 2002

4. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. -М., ВШ. 2002

5. Волков Е.А. Численные методы. -Краснодар. «Лань». 2004

6. Поршнев С.В. Вычислительная математика. -СПб, БХВ-Петербург, 2004

Дополнительная литература

1. Хэмминг Р.В. Численные методы. – М.: Наука, 1972.

2. Поттер Д. Вычислительные методы в физике. – М.: Мир, 1975.

3. Хокни Р, Иствуд Дж. Численное моделирование методом частиц. – М.: Мир, 1987.

4. Тургак Л.И. Основы численных методов. – М.: Наука ГРФЛМ, 1987

5. Самарский А.А., Тулин А.В. Численные методы. – М.: Наука ГРФЛМ, 1989.

6. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы. – М.: Наука ГРФЛМ, 1977.