3. Содержание курса

ВВЕДЕНИЕ

Вычислительная математика (определение).

Вычислительная математика как основа современных математических моделей.

Причины интенсивного развития вычислительной математики.

Математическая модель (определение).

Классификация математических моделей.

1 Модуль

1. Принципиальные погрешности математического моделирования

1). Этапы математического моделирования.

Дискретная математическая модель.

Принципиальная погрешность математического моделирования.

2). Требования к исходной математической модели и дискретной вычислительной модели.

3). Корректность, устойчивость и сходимость вычислительного процесса.

2. Методы аппроксимации функций

4). Задачи, приводящие к необходимости получения аппроксимирующих функций.

Основные критерии аппроксимации: совпадение значений в узлах,

наименьших квадратов равномерного приближения.

Интерполяционные многочлены.

Глобальная и локальная интерполяция.

Кусочно-линейная интерполяция.

Кусочно-квадратная интерполяция.

5). Многочлены Лагранжа.

Многочлены Эрмита.

Интерполяционные формулы Ньютона (I-ая, II-ая).

Погрешности интерполирования.

6). Метод выбранных точек.

Метод наименьших квадратов.

Аппроксимация с помощью ортогональных функций.

Метод Фурье определения коэффициентов в разложении по ортогональным функциям.

7). Ортогональные полиномы Чебышева. Основные свойства.

Аппроксимация по полиномам Чебышева в случаях непрерывных и дискретных значений аргумента в заданных интервалах.

Случаи разноотстоящих и равноотстоящих узлов.

Основные способы применения полиномов Чебышева.

Экономизация по Ланцшоу.

Получение зависимостей по экспериментальным данным.

8). Аппроксимация с помощью тригонометрических узлов Фурье.

Комплексная форма рядов Фурье.

Дискретный ряд Фурье.

9). Методы построения аппроксимирующих функций при малом числе экспериментальных данных.

Планы I-го и II-го порядков.

Сравнительная характеристика методов аппроксимации.

2 Модуль

1. Численное дифференцирование

10). Производные первого порядка.

Левая, правая, центральная аппроксимации.

Оценка погрешностей.

11). Производные второго порядка.

Частные производные.

Типичные шаблоны.

4. Численное интегрирование

12). Постановка задачи.

Метод прямоугольников.

Метод трапеций.

Оценка погрешностей.

Формула Симпсона.

13). Численное интегрирование несобственных интегралов.

Краткие интегралы.

Сведение к однократному интегралу.

Метод Монте-Карло.

Оценка погрешностей.

5. Численные методы решения систем линейных уравнений

14). Основные представления.

Классификация численных методов: прямые, итерационные, смешанные.

Метод Крамера.

Метод обратной матрицы.

15). Метод Гаусса.

Прямой и обратный ход.

Метод главного элемента.

16). Метод прогонки.

Итерационные методы.

Метод Гаусса-Зейделя.

6. Численные решения нелинейных уравнений

17). Прямые и итерационные методы.

Метод деления отрезка пополам.

Метод хорд.

Метод Ньютона (касательная).

18). Решение систем нелинейных уравнений.

Метод простой итерации.

Метод Ньютона.