2. Действующие значения тока, э.Д.С., напряжения

Действующим значением переменного тока называется такой постоянный ток, который на одном и том же резисторе сопротивлением R за то же время выделяет столько же тепла, что и данный переменный ток.

Он определяется следующим образом (как среднеквадратичное значение тока за период):

.

Проинтегрировав это выражение, получим

I = .

Аналогично, действующие значения э.д.с. и напряжения:

E = 0,707E_m, U = 0,707U_m

Амплитудные значения

I_m = I, E_m = E, U_m = U

Если периодическая величина изменяется не по закону синуса, а по какому-то другому закону, это соотношение будет другим.

В большинстве электроизмерительных приборов, измеряющих ток и напряжение, используется принцип теплового, или электродинамического эффекта. Поэтому они всегда показывают действующее значение, зная которое, можно вычислить амплитуду.

Рассмотрим следующие примеры.

Пример 1.

В цепи, показанной на рисунке, протекает ток, мгновенное значение которого равно . Найти показание амперметра.

Решение:

;

Пример 2.

В цепи, показанной на рисунке, показание вольтметра равно 200В. Какое напряжение действует на изоляцию проводов?

Решение:

Вольтметр показывает действующее значение напряжения.

.

Среднее значение тока, э.д.с., напряжения

В некоторых случаях необходимо знать среднее (то есть среднеарифметическое значение) переменного тока за половину периода, в течение которого его знак не меняется:

Проинтегрировав это выражение, получаем

.

Аналогично для э.д.с. и напряжения:

E_ср = 0,637E_m, U_ср = 0,637U_m.

Отношение действующего значения к среднему называют коэффициентом формы:

k_f = .

Для синусоидальной величины, например, тока k_f = 1,11.

Для треугольной формы кривой k_f = 1,15, для прямоугольной – k_f = 1,0.

3. Формы представления электрических величин

При исследовании процессов в цепях переменного тока часто возникает необходимость суммирования нескольких однородных синусоидально изменяющихся величин одной и той же частоты, но имеющих разные амплитуды и начальные фазы.

Задачи такого рода можно решать графически в виде временных диаграмм, вращающихся векторов (или метода векторных диаграмм) и аналитически с помощью комплексных чисел.

Геометрический смысл формулы и ее параметров раскрывает временная диаграмма (справа).

Переход от временной диаграммы к вращающимся векторам для различных моментов времени показан на рисунках а и б.

Предположим, вектор длиной I_m вращается с постоянной угловой частотой ω. За положительное направление принимается направление против часовой стрелки. Проекция вращающегося вектора на ось ординат определяет мгновенное значение синусоидального тока.

Первоначальное положение вектора определяется углом ψ (начальной фазой).

Таким образом, каждой синусоидальной величине можно поставить в соответствие свой вращающийся вектор.

При действиях с несколькими синусоидами получаем несколько векторов, действия над которыми заменяют действия над синусоидальными токами или напряжениями.

Векторы-амплитуды вращаются с одинаковой скоростью, так как частота всех токов и напряжений одна, а значит, относительно друг друга они неподвижны.

Поэтому, когда диаграммы используются для сложения действующих величин напряжений и токов, то векторы не вращают.

Векторные диаграммы бывают двух типов:

– лучевые;

– топографические.

Лучевой диаграммой называется диаграмма, в которой все векторы напряжений и токов цепи строят из одной точки.

Топографической диаграммой называется диаграмма, на которой векторы напряжений пристраиваются друг к другу в том же порядке, в котором они действуют в электрической цепи.

Чаще применяются топографические диаграммы.

Таким образом, векторной диаграммой называется совокупность векторов, характеризующих процесс в электрической цепи.

Метод комплексных чисел

Аналитический метод, его еще называют символическим или методом комплексных чисел, широко применяется при расчете электрических цепей переменного тока. Этот метод основан на замене геометрического сложения векторов алгебраическим сложением комплексных чисел, изображающих эти вектора.

Этот метод позволяет применять законы Ома и правила Кирхгофа для расчета цепей переменного тока с учетом специфики оперирования комплексными числами и получать более точные результаты.

Число вида , где а и b – любые действительные числа, j – мнимая единица, называется комплексным числом в алгебраической форме.

– комплексное число. Оно обозначается точкой над символом или подчеркивается внизу: ;

а – действительная (реальная) часть комплексного числа: ;

b – мнимая часть комплексного числа: ;

j – мнимая единица, или оператор поворота на 90º в положительную стороны (против часовой стрелки): или .

Два комплексных числа и называются сопряженными комплексными числами.

Справедливы соотношения:

Используя эти соотношения, можно представить комплексное число в тригонометрической форме записи:

На основании формулы Эйлера можно записать комплексное число в показательной форме:

,

где jψ – поворотный множитель.

Поворотный множитель показывает, что вектор повернут относительно действительной оси на угол ψ. Отсчет угла ψ ведется от действительной оси против часовой стрелки.

Модуль комплексного числа : , обозначается или просто с.

Аргумент комплексного (равен начальной фазе): .

Каждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное число, которое можно записать в алгебраической, тригонометрической или показательной форме.

Действия над комплексными числами

Сложение и вычитание. Эти действия удобнее производить над числами в алгебраической форме записи:

Умножение и деление удобнее производить в показательной форме: