лекции по физике Родин / ЛЕКЦИЯ № 16 ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ

Раскрыв

2

2

2

–

оператор Лапласа,

c учетом того, что

x 2

y2

z2

c

1

уравнениям (7) можно придать вид:

0 0

2 E

2 E

2 E

2 E ;

x2

y2

z2

c2

t2

(8)

2 H

2 H

2 H

2 H .

x2

y2

z2

c2

t2

2

2

2

1

2 .

x2

y2

z2

v2

t2

Мы видим что:

1

,

v2

c2

v

c

,

1

м

где c

3

108

электродинамическая постоянная.

с

0 0

В вакууме = = 1 v = c скорость электромагнитной волны в вакууме

совпадает со скоростью света.

Решение (8) показывает, что изменение векторов E и

H в пространстве и

времени можно описать следующим образом:

E E0 exp[ i( t kr 1)],

(9)

H H0 exp[ i( t kr 2 )]

где E0 , H0

амплитуды колебаний, =

2 , частота колебаний, k волновой

вектор,

2

, длина волны, 1, 2 начальные фазы колебаний.

k

v

E

x

Ey

E

z

D

E

(

) 0,

x

y

0

0

z

(10)

H

H y

H

x

z

B H

(

) 0.

y

z

0

0

x

kx Ex kyEy kzEz kE 0,

(11)

kyHy kyHy kzHz kH 0.

Итак,

электромагнитные волны являются поперечными и векторы E и

H

совершают колебания в плоскости, перпендикуляр-

H

ной направлению распространения, которое опре-

E

деляется вектором k (рис.1).

Вблизи

диполя,

совершающего

гармониче-

k

ские колебания, электрическое поле в каждый мо-

мент времени похоже на поле статического элек-

трического диполя, а

магнитное поле

– на поле

прямолинейного проводника с током. Векторы E

и

/2.

Рис.1.

H сдвинуты друг относительно друга на

В дальней зоне электрическое и магнитное поля изменяются в фазе по гар-

моническому закону (рис.2.).

Y

Скорость

распространения

v

электромагнитных волн в среде, ха-

E(x, t)

рактеризуемой

коэффициентом

преломления n, определяется фор-

мулой:

r X

c

c

v n

,

1

(12)

H(x, t)

c

Z

Рис.2.

0

0

где и определяют изменение величин векторов E

и H в веществе по отноше-

нию к их значениям в вакууме.

Величина

определяет преломляющие свойства среды:

n ,

(13)

Величину n можно также определить как изменение волнового вектора k

при прохождении излучения через вещество:

n

k

c

,

(14)

k0 v

Векторы E ,

H и

v (или E

, B

и v ), где v скорость волны взаимнопер-

пендикулярны и образуют правовинтовую систему.

Убедиться в поперечности электромагнитной волны можно на примере

плоской волны, распространяющейся вдоль оси x со скоростью

v с помощью

преобразований векторных полей.

При этом проекции Ex = Hx = 0 не зависят ни от координат, ни от времени

и векторы H

и E лежат в плоскостях перпендикулярных к направлению распро-

Ey

H

z

;

H

z

Ey

;

x

t

x

t

0

0

E

z

Hy

;

Hy

E

z .

t

x

t

x

0

0

В векторном виде:

E Ey

j Ez k ;

H Hy

j Hz k ,

2 Ey

2 Ey

.

x2

c2

t2

2 Hz

2 Hz .

x2

c2

t2

Простейшим решением этих уравнений являются функции (см. уравнение 9):

Ey Em cos t kx 1

Hz Hm cos t kx 2

где частота волны,

k

волновое число, 1, 2 начальные фазы колеба-

v

ния в точке x = 0. Взаимно перпендикулярные вектора E и H

колеблются в одной

фазе ( = ) при этом: H

0

E

. То есть модули E и H в любой точке связа-

z

y

1

2

0

ны соотношением:

0 E

0 H .

1.

Скоростью

v

c

распространения в непроводящей, нейтральной, нефер-

ромагнитной среде.

2.

Векторы E ,

H

( B ) и

v – взаимно перпендикулярны и образуют правовинто-

вую систему.

3.

Векторы E ,

H

всегда колеблются в одинаковых фазах, при этом в любой точ-