лекции по физике Родин / ЛЕКЦИЯ № 15 УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
.pdf
ЛЕКЦИЯ № 15 ВИХРЕВОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ. БЕТАТРОН.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ. ТОК СМЕЩЕНИЯ.
Из закона Фарадея E |
|
следует, что любое изменение сцепленного с |
i |
t |
|
|
|
контуром потока магнитной индукции приводит к появлению (возникновению) i и, следовательно, возбуждает индукционный электрический ток.
Однако ЭДС в любой цепи возникает, если в ней на носители тока действуют сторонние силы (неэлектрического происхождения).
Возьмѐм два случая. |
|
|
|
|
|
|
|
1. Движение контура в постоянном магнитном поле. Роль сторонней силы |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
выполняет магнитная сила пропорциональная [v, B] (F |
e[v, B]) |
E F /( e) . |
|||||
|
ìàã |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Циркуляция вектора E по контуру даѐт по определе- |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
нию величину ЭДС индукции: |
|
|
|
|
E |
l |
|
|
|
|
|
||||
E vBl . |
|
|
|
||||
|
|
B |
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Контур покоится в переменном магнитном поле. В этом случае магнит-
ная сила не подходит, т.к. не может привести в движение покоящиеся заряды |
||
|
|
|
(v=0). Однако других сил, кроме |
Fэл qE и Fмаг |
q[v, B], в контуре нет! |
Поэтому остаѐтся сделать заключение, что индукционный ток обусловлен возникающим в проводе электрическим полем E. Оно ответственно за появление ЭДС индукции в неподвижном контуре при изменении B(t) .
Максвелл высказал гипотезу, что всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле независимо от наличия проводящего контура.
Контур лишь позволяет обнаружить это электрическое поле, по возникновению в нѐм индукционного тока (“индикаторный прибор”).
Т.е. по Максвеллу – изменяющееся во времени магнитное поле порождает
электрическое поле.
Циркуляция вектора E этого поля по любому неподвижному контуру определяется как:
Ф(Edl )
t
знак частной производной используется для того, чтобы показать, что контур и |
|||||
|
|
|
|
|
|
натянутая на него поверхность неподвижны. Учитывая, что Ф = (BdS) получим: |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
||
|
|
(Edl ) ( |
t |
S) |
|
|
|
|
|
|
|
|
В локальной форме: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ , E] B . |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Изменение поля вектора |
B в данной точке определяет ротор поля вектора |
|||
|
|
|
|
|
|
E в этой же точке. |
|
|
|
|
|
Тот факт, что циркуляция электрического поля возбуждаемого переменным
(во времени) магнитным полем отлична от нуля, говорит о том, что это поле век-
тора E не потенциально! Как и магнитное оно является вихревым.
В общем случае электрическое поле E может слагаться из постоянного электрического поля и поля обуславливаемого изменяющимся во времени маг-
нитным полем: |
|
|
|
||
E = Eпост |
+ Eвихр . |
|
Вихревое электрическое поле нашло практическое применение в индукционном ускорителе электронов – бетатроне. Этот ускоритель состоит из тороидальной откачанной камеры, расположенной между полюсами электромагнита.
Изменение тока в обмотке электромагнита создаѐт переменное магнитное поле, которое вызывает вихревое электрическое поле, ускоряющее электроны, и одновременно удерживающее их на равновесной круговой орбите. Ускоряют электроны до энергии ~400 МэВ и v c . (см. Савельев И.В., Курс физики т.2, § 59,60)
ТОК СМЕЩЕНИЯ
Согласно Максвеллу (идея о симметрии): если всякое переменное магнит- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ное поле ( B / t) возбуждает в окружающем пространстве вихревое электрическое |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
поле ( E / t), то должно существовать и обратное явление: всякое изменение элек- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
трического поля ( E / t) должно вызвать в окружающем пространстве появление |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
вихревого магнитного поля ( B / t). |
|
|
|
|
|
|
|
Так как магнитное поле всегда связывается с элек- |
|
|
|
||||
трическим током, то Максвелл назвал переменное электри- |
|
|
|
jсмещ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
ческое поле, возбуждающее магнитное поле током смеще- |
|
|
|
|
|
|
|
ния – jсм , в отличие от тока проводимости, обуславливае- |
j |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
мого упорядоченным движением зарядов. Токи смещения |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
«протекают» там, где отсутствует проводник. |
|
|
|
|
|
|
|
Расчѐт на основе уравнения непрерывности (см. Савельев И.В., Курс физики
т.2, § 61) показывает что:
jсмещ D ,
t
где знак частной производной указывает, что магнитное поле определяется только |
||||
|
|
|
|
|
быстротой изменения D во времени. |
|
|
|
|
Суммой тока проводимости и тока смещения называют полным током: |
||||
j |
|
|
|
|
|
j D . |
|||
|
|
|
t |
|
пол |
|
|
||
|
|
|
||
Введя в правую часть полный ток, Максвелл обобщил теорему о циркуля- |
||||
|
|
|
|
|
ции вектора H : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Hdl ) |
I I jполdS |
|||
и, следовательно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|||
(Hdl ) |
( j |
t |
) S . |
|
|
|
|
|
|
2
Используя теорему Стокса (см. Савельев И.В., Курс физики т.2, § 59) в
дифференциальном виде имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ H] j D . |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
Открытие тока смещения |
D |
позволило Максвеллу создать единую теорию |
|
|
t |
|
|
электрических и магнитных явлений, т.е. теорию электромагнитного поля.
Наличие jсмещ экспериментально подтверждено советским физиком А. А. Эйхенвельдом (магнитная стрелка между полюсами конденсатора).
УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА. ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО И МАГНИТНОГО ПОЛЕЙ.
Благодаря работам Максвелла все электрические и магнитные явления можно представить в виде системы фундаментальных уравнений электродинамики названных уравнениями Максвелла для неподвижных сред. Этих уравнений четыре и мы с ними уже знакомы. Повторим их, записав и прочитав в интеграль-
ной форме, а потом в дифференциальной или локальной форме: |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|||
1) |
(Edl ) ( |
t |
S) |
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Циркуляция вектора |
E по любому замкнутому контуру равна со зна- |
||||
ком “ ” производной по времени от магнитного потока через любую поверхность ограниченную этим контуром.
Это уравнение отражает закон электромагнитной индукции Фарадея и пока-
зывает, что источником электрического поля могут быть не только электриче-
ские заряды, но и меняющиеся во времени магнитные поля. |
|
|
|
|
|
2) |
(DdS) dV |
(2) |
где объѐмная плотность сторонних зарядов. |
|
|
|
|
|
Поток вектора D |
сквозь любую замкнутую поверхность равен алгебра- |
|
ической сумме сторонних зарядов охватываемых этой поверхностью.
Показывает: – источниками статического электрического поля являются электрические заряды, существуют источники и стоки, силовые линии начина-
ются и заканчиваются на зарядах. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
D |
(3) |
|||
(Hdl ) ( j |
t |
) S |
|||
|
|
|
|
|
|
где j ток проводимости.
Циркуляция вектора H по любому замкнутому контуру равна полному току (j + jсм) через произвольную поверхность, ограниченную данным контуром.
Показывает, что магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися зарядами (электрическим током) либо переменными электрическими полями.
3
|
|
|
|
|
4) |
|
(BdS) 0 |
(4) |
|
Поток вектора |
сквозь произвольную замкнутую поверхность всегда |
|||
B |
||||
равен нулю.
Показывает, что нет источников магнитных зарядов, силовые линии замкнуты.
Если поля стационарны (не изменяются во времени) E const, B const , то
имеем две группы независимых уравнений: |
|
|
|
|
|
Edl |
0 |
DdS q |
|
|
|
Hdl |
I |
BdS 0 |
что позволило изучить нам сначала электрическое, а затем независимо от него магнитное поле.
УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА ВЫВЕСТИ НЕЛЬЗЯ – ЭТО АКСИОМЫ!!!
В дифференциальной форме уравнения записываются: |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
||
[ E] |
; |
|
( D) |
||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|||
[ H] j D |
; |
( B) 0 |
|||
|
|
t |
|
|
|
Уравнения Максвелла в интегральной форме обладают большей обобщѐнностью, чем в дифференциальной, т. к. они справедливы и в случаях, когда существуют поверхности разрыва (граница двух сред), где свойства изменяются скачком.
В дифференциальной форме предполагается, что все величины изменяются непрерывно. Их дополняют граничными условиями.
|
|
D1n D2n ; |
|
E1 E2 |
|
|
|
|
B1n B2n ; |
|
H1 H2 |
|
|
Между величинами входящими в уравнения Максвелла существует взаимо- |
||||||
связь, характеризующаяся уравнениями: |
|
|
|
|
||
|
|
|
||||
D |
E ; |
B H ; |
j (E E ) , |
|||
0 |
|
0 |
|
|
|
|
где E напряжѐнность сторонних сил (химические и тепловые процессы).
Согласно принципу относительности Эйнштейна – механические, опти-
ческие и электромагнитные явления во всех инерциальных системах отсчѐта протекают одинаково, т. е. описываются одинаковыми уравнениями. Из этого принципа вытекает, что отдельное рассмотрение электрического и магнитного поля может иметь относительный смысл.
Так если электрическое поле создаѐтся системой неподвижных зарядов, то эти заряды, являясь неподвижными относительно одной системы отсчѐта, движутся относительно другой и, следовательно, будут порождать не только электрическое, но и магнитное поле.
Аналогично неподвижный относительно одной инерциальной системы отсчѐта k проводник, с постоянным током возбуждая в каждой точке пространства постоянное магнитное поле, движется относительно других инерциальных си-
стем отсчѐта, и создаваемое им переменное магнитное поле возбуждает вихревое электрическое поле.
4