лекции по физике Родин / ЛЕКЦИЯ № 14 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

это линейное дифференциальное, неоднородное уравнение второго порядка.

Величину 0 называют собственной частотой контура, – коэффициентом затухания.

Если = 0, то колебания называют свободными. При R = 0 колебания будут

незатухающими а при R 0 затухающими.

Из (4), когда = 0 и R = 0, получаем дифференциальное уравнение свобод-

ных гармонических колебаний заряда q в контуре:

для тока и напряжения:

I dqdt Im cos( 0 t 2 ) ,

2

UC Cq Umcos( 0 t ) ,

где qm – амплитудное значение заряда на обкладках контура; 0 – собственная частота; – начальная фаза; qm и – определяются начальными условиями. Видно, что при свободных незатухающих колебаниях ток I опережает по фазе напряжение на конденсаторе на /2.

СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ДЕКРЕМЕНТ ЗАТУХАНИЯ.

ДОБРОТНОСТЬ.

Каждый реальный контур обладает активным сопротивлением, и энергия, запасенная в контуре, расходуется на нагрев. Свободные колебания будут затухающими. Уравнения этих колебаний получают из (4) полагая 0 :

где 02 2 LC1 ( LCR )2 .

График функции (10) показан на рис. 1. Видно, что эта функция не периодическая, она определяет затухающие колебания. Величину T = 2 / называют периодом затухающих колебаний:

Зная зависимость q(t), можно найти напряжение на конденсаторе и ток в контуре. Расчет показывает, что при наличии активного сопротивления R ток в контуре опережает по фазе напряжение на конденсаторе более чем на /2.

3

ВЕЛИЧИНЫ, ХАРАКТЕРИЗУЮЩИЕ ЗАТУХАНИЕ.

1.Коэффициент затухания и время релаксации промежуток времени,

втечение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Нетрудно видеть,

что = 1/ .

2. Логарифмический декремент затухания . Он определяется как нату-

ральный логарифм отношения двух значений амплитуд, взятых через период колебания Т:

где А амплитуда соответствующей величины (q, U, I), Ne число колебаний за время , т.е. за время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

3. Добротность Q колебательного контура:

Q N ,e

где логарифмический декремент затухания. Чем меньше затухание, тем боль-

В заключение отметим, что при 2 02 вместо колебаний будет происхо-

дить апериодический разряд конденсатора. Активное сопротивление контура, при котором наступает апериодический процесс, называют критическим:

Rкр = 2 L / C .

ВЫНУЖДЕННЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ. ВЕКТОРНАЯ ДИАГРАММА.

РЕЗОНАНСНЫЕ КРИВЫЕ ДЛЯ НАПРЯЖЕНИЯ И СИЛЫ ТОКА

Рассмотрим случай, когда в контур включена внешняя переменная ЭДС , зависящая от времени по гармоническому закону:

Решение этого уравнения представляет собой сумму общего решения однородного уравнения (без правой части) и частного решения неоднородного уравнения. Нас интересуют установившиеся колебания, т.е. частное решение этого уравнения (общее решение однородного уравнения равно нулю)

где qm – амплитуда заряда на конденсаторе; – разность фаз между колебаниями заряда и внешней ЭДС .

4

Расчеты показывают, что qm и определяются только свойствами самого контура и вынуждающей ЭДС , причем оказывается, что >0, поэтому q всегда отстает по фазе от .

Из последнего уравнения дифференцированием по t получаем:

где слева записана сумма напряжений на индуктивности L, сопротивлении R и емкости С. Таким образом, мы видим, что сумма этих напряжений равна в каждый момент внешней ЭДС . Учитывая соотношения (17), запишем:

Из прямоугольного треугольника этой диаграммы легко получить следующие выражения для Im и :

Заметим в заключение, что полученная нами векторная диаграмма оказывается весьма полезной при решении многих конкретных вопросов. Она позволяет наглядно, легко и быстро анализировать различные ситуации.

5

Следовательно, резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой контура:

Теперь посмотрим, как перераспределяются амплитуды напряжений UR, UC и UL в зависимости от частоты внешней ЭДС.

Эта картина изображена на рис. 5. Резонансные частоты для UR, UC и UL определяются следующими формулами:

Для qm( ) => ðåç 02 2 2 и т.д.

6

Явление резонанса в нашем случае это возбуждение сильных колебаний при частоте внешней ЭДС или напряжения, равной или близкой к собственной частоте колебательного контура. Резонанс используют для выделения из сложного напряжения нужной составляющей. На этом основана вся техника радиоприема. Для того чтобы радиоприемник принимал интересующую нас радиостанцию, его необходимо настроить, т.е. изменением С и L колебательного контура добиться совпадения его собственной частоты с частотой электромагнитных волн, излучаемых радиостанцией.

С явлением резонанса связана и опасность: внешняя ЭДС или напряжение могут быть малы, однако при этом напряжения на отдельных элементах кон-

тура (на емкости или индуктивности) могут достигать опасного для жизни значения. Об этом необходимо всегда помнить!

7