Вопросы к экзамену по математике_ 2 семестр Татьяна Анатольевна Романчук

Экзаменационные вопросы по математике (2 семестр)

I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия

1.1. Линии и поверхности первого порядка

1. Прямая на плоскости и ее уравнения. Взаимное расположение прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой.

2. Плоскость в и ее уравнения. Взаимное расположение плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.

3. Прямая в и ее уравнения. Взаимное расположение прямой и плоскости, двух прямых в пространстве.

1.2. Матричное исчисление

4. Обратная матрица, её свойства. Теорема о существовании обратной матрицы.

5. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц. Способы нахождения ранга.

6. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), основные понятия. Решение СЛАУ в матричной форме. Формулы Крамера. Критерий совместности СЛАУ.

7. Однородные СЛАУ. Алгоритм Гаусса решения произвольной СЛАУ. Критерий неопределённости совместной СЛАУ. Общие и частные решения неопределённой СЛАУ.

II. Функции многих переменных (ф.м.п)

2.1. Дифференциальное исчисление ф.м.п.

8. Определение ф.м.п. Область определения ф.м.п. Линии уровня ф.м.п. Предел и непрерывность ф.м.п. Точки и линии разрыва.

9. Дифференцируемость ф.м.п. Частные производные и полный дифференциал. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости ф.м.п. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теорема Шварца.

10. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.

11. Производная функции по направлению, градиент скалярного поля. Связь градиента и производной по направлению.

12. Экстремумы ф.м.п. Локальный экстремум ф.м.п., необходимые и достаточные условия его существования. Наибольшее и наименьшее значения ф.м.п. в ограниченной замкнутой области.

13. Условный экстремум ф.м.п. Методы решения задач на условный экстремум.

2.2. Интегральное исчисление ф.м.п.

14. Двойной интеграл, его свойства. Вычисление двойного интеграла в декартовой и полярной системах координат. Геометрический смысл двойного интеграла.

15. Тройной интеграл, его свойства. Вычисление тройного интеграла в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат.

16. КРИ 1 рода: определение, свойства, способы вычисления.

17. КРИ 2 рода: определение, свойства, способы вычисления.

18. Формула Грина и ее приложение к вычислению площадей.

19. Независимость КРИ 2 рода от пути интегрирования.

20. Восстановление функции по ее полному дифференциалу.

III. Дифференциальные уравнения (д.у.)

21. Основные д.у. 1-ого порядка: д.у. с разделяющимися переменными, однородные и линейные д.у., уравнение Я. Бернулли, уравнения в полных дифференциалах, способы их решения.

22. Простейшие д.у. 2-ого порядка, допускающие понижение порядка, методы понижения порядка.

23. Решение линейного однородного д.у. с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение линейного однородного д.у.

24. Общее решение линейного неоднородного д.у. Частное решение линейного неоднородного д.у., метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).

25. Линейные неоднородные д.у. со специальной правой частью.

Вопросы, которые необходимо знать с доказательством

I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия

1.1. Линии и поверхности первого порядка

1. Прямая на плоскости: вывод различных уравнений. Формула для нахождения расстояния от точки до прямой.

2. Плоскость в пространстве: вывод различных уравнений.

1.2. Матричное исчисление

3. Теорема о существовании обратной матрицы.

4. СЛАУ. Формулы Крамера.

II. Функции многих переменных (ф.м.п)

2.1. Дифференциальное исчисление ф.м.п.

5. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности.

6. Производная функции по направлению: вывод основной формулы.

7. Градиент: теорема о связи градиента функции и производной по направлению.

8. Условный экстремум ф.м.п.: решение задач с помощью функции Лагранжа.

2.2. Интегральное исчисление ф.м.п.

9. Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат.

10. КРИ 2 рода: определение, свойства.

11. Формула Грина и ее приложение к вычислению площадей.

12. Независимость КРИ 2 рода от пути интегрирования.

13. Восстановление функции по ее полному дифференциалу.

ПРАКТИКА

Типы задач, которые необходимо уметь решать:

1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия

1.1. Линии и поверхности первого порядка

1. Прямая в . Различные уравнения. Расстояние от точки до прямой.

2. Плоскость в . Различные уравнения. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями, взаимное расположение плоскостей.

3. Прямая в . Различные уравнения. Взаимное расположение прямой и плоскости, двух прямых в пространстве.

1.3. Линейная алгебра

8. Проверка линейной (не)зависимости элементов л.п. Разложение элемента по базису. Нахождение ФСР для однородной СЛАУ. http://mathprofi.ru/odnorodnye_sistemy_lineinyh_uravnenij.html

http://mathprofi.ru/linejnaja_nezavisimost_vektorov_bazis_vektorov.html

https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwj-6uq60-bpAhVMtIsKHdmSDNAQwqsBMAF6BAgLEAQ&url=https%3A%2F%2Fwww.youtube.com%2Fwatch%3Fv%3DEci8hbJp9g4&usg=AOvVaw0hH67fdXRseW1BAO19Z_r7

9. Проверка линейности оператора. Нахождение матрицы л.о. http://mathprofi.ru/linejnye_preobrazovanija.html

10. Нахождение собственных векторов и значений л.о. http://mathprofi.ru/sobstvennye_znachenija_i_sobstvennye_vektory.html

11. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. http://mathprofi.ru/kak_privesti_kf_k_kanonicheskomu_vidu.html

12. Приведение к каноническому виду уравнений линий 2-го порядка на плоскости. http://mathprofi.ru/kak_privesti_uravnenie_linii_2_poryadka_k_kanonicheskomu_vidu.html

2. Функции многих переменных (ф.м.п)

2.1. Дифференциальное исчисление ф.м.п.

13. Нахождение области определения ф.м.п. http://mathprofi.ru/funkcija_dvuh_peremennyh_oblast_opredelenija_linii_urovnja.html

14. Вычисление предела ф.м.п. (сведение к замечательным пределам, домножение на сопряженное выражение, разложение на множители, док-во того, что предела функции в точке не существует) http://mathprofi.ru/predel_funkcii_dvuh_peremennyh.html

15. Нахождение дифференциалов 1-го, 2-го и 3-го порядков ф.м.п.

16. Касательная плоскость и нормаль к поверхности (явный и неявный случай).

17. Исследование функции на локальный экстремум.

18. Исследование функции на условный экстремум (в том числе функция Лагранжа).

19. Градиент и производная по направлению.

2. Интегральное исчисление ф.м.п.

20. Вычисление двойного интеграла в декартовой и полярной с/к.

21. Вычисление тройного интеграла в декартовой, цилиндрической и сферической с/к.

22. Вычисление КРИ 1-го рода (декартова с/к, параметрический случай, полярная с/к)

23. Вычисление КРИ 2-го рода (декартова с/к, параметрический случай)

24. Вычисление КРИ 2-го рода по замкнутому контуру по формуле Грина.

25. Вычисление площади с помощью КРИ 2-го рода.

26. Восстановление функции по ее полному дифференциалу.

5