Санкт-Петербургский Государственный Электротехнический Университет «ЛЭТИ» Кафедра Биотехнических Систем

к.т.н., доц. Пустозеров Евгений Анатольевич

ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Лекция 5 – Гауссовские случайные процессы

ОСНОВНЫЕ ТИПЫ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕССОВ

МНОГОМЕРНОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

•Многомерная случайная величина X называется гауссовской, если её плотность распределения вероятностей имеет вид

Хт = {x1,x2,...,xn} – n-мерная случайная величина (случайный вектор);

aт = {a1,a2,...,an} – вектор математических ожиданий; K=[Kij] – матрица ковариаций;

Kij = M{(xi-ai)(xj-aj)}, i,j=1,2,…,n.

МНОГОМЕРНОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

•Плотность распределения вероятностей в матричном виде:

•Характеристическая функция:

•Характеристическая функция в матричном виде:

ОДНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

•n = 1, σ2 = K11.

•K11-1=1/σ2

•detK= σ2

ДВУМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

•n = 2,

•K11=σ12, K12 = K21 = rσ1σ2, K22=σ22

•r – коэффициент корреляции между x1 и x2.

ДВУМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

•

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА МНОГОМЕРНЫХ НОРМАЛЬНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

1.Сумма независимых гауссовских векторов является гауссовским вектором.

2.Линейное преобразование гауссовского случайного вектора является тоже гауссовским вектором.

3.Совместное распределение любой группы компонент n- мерного гауссовского вектора также является гауссовским вектором.

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА МНОГОМЕРНЫХ НОРМАЛЬНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

4. Если случайный вектор X={x1,x2,…,xm,xm+1,…,xn} – гауссовский и случайные векторы X’={x1,…,xm} и X’’={xm+1,…,xn}

некоррелированы по каждой паре своих компонент, то X’ и X’’ – стохастически независимые гауссовские векторы.

5. Если задана последовательность по α распределений гауссовских векторов c параметрами {m(α),K(α)}:

То последовательность распределений гауссовских векторов сходится к гауссовскому распределению с параметрами {m, K}.

ГАУССОВСКИЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС

•Пусть случайный процесс ξ(t) задан n сечениями ξ(t1), ξ(t2), …, ξ(tn) для которых известны математические ожидания M{ξ(t1,2,...i,n:)}=a(ti), i = 1,2,...,n, и матрица ковариаций К = [K(ti,tj)], i,j =

•Случайный процесс называется гауссовским, или нормальным, если его n-мерная плотность распределения является гауссовской.

•Все свойства гауссовских процессов вытекают из свойств многомерных нормальных случайных величин.