Санкт-Петербургский Государственный Электротехнический Университет «ЛЭТИ» Кафедра Биотехнических Систем

к.т.н., доц. Пустозеров Евгений Анатольевич

ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Лекция 4 – Функция корреляции случайного процесса и ее свойства

СВОЙСТВА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

1.Математическое ожидание неслучайной функции равно самой неслучайной функции. M[ (t)] (t)

2.Неслучайный множитель можно выносить за знак математического ожидания.M[ (t) (t)] (t)M[ (t)] (t)m (t)

3.Математическое ожидание суммы двух случайных функций равно сумме математических ожиданий слагаемых.

M[ 1 (t) 2 (t)] M[ 1 (t)] M[ 2 (t)]

4.Математическое ожидание суммы случайной и неслучайной функций равно сумме математического ожидания случайнойMфункции[ (t) (t.)] M[ (t)] (t)

СВОЙСТВА ДИСПЕРСИИ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

1. Дисперсия неслучайной функции равна нулю.

D[ (t)] 0

2. Дисперсия суммы случайной функции и неслучайной

функции равна дисперсии случайной функции.

D[ (t) (t)] D (t)

3.Дисперсия произведения случайной функции на неслучайную функцию равна произведению квадрата

неслучайного множителя на дисперсию случайной

D[ (t) (t)] 2 (t)D (t)

функции.

АВТОКОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ

•Автокорреляционная функция (АКФ) — зависимость взаимосвязи между функцией (сигналом) и ее сдвинутой копией от величины временного сдвига.

•Из графика АКФ можно судить о периодичности исходной функции и о ее частотных характеристиках.

•АКФ применяется для анализа сложных колебаний, например, ЭЭГ человека.

•Взаимнокорреляционная функция (ВКФ) – оценка корреляционных свойств между двумя случайными процессами.

АВТОКОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ

Математические ожидания и дисперсии этих СП равны, но внутренняя структура процессов совершенно

различна.

Теория случайных процессов | Лекция 4 – Функция корреляции 5 случайного процесса и ее свойства

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИИ КОРРЕЛЯЦИИ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

1.Функция корреляции является симметричной функцией своих аргументов:

•.Это следует непосредственно из определения. Для стационарных процессов функция корреляции - четная функция:

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИИ КОРРЕЛЯЦИИ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

2. Для корреляционной функции выполняется неравенство:

Для стационарных случайных процессов это неравенство означает, что в нуле функция корреляции достигает наибольшего значения, так как:

Следовательно:

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИИ КОРРЕЛЯЦИИ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

3.Среднее значение и дисперсию стационарного случайного процесса можно найти, если известна его функция корреляции.

Если для стационарного случайного процесса при τ —> ∞ случайные величины ξ(t) и ξ(t+τ) стохастически независимы, то

Среднее процесса можно выразить через его функцию корреляции:

По определению дисперсии СП:

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИИ КОРРЕЛЯЦИИ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

4.Функция корреляции случайного процесса является положительно определенной квадратичной формой относительно аргументов, то есть для \/n и произвольных действительных чисел λ1, λ2, …, λn выполняется неравенство:

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИИ КОРРЕЛЯЦИИ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

5. Пусть

Тогда:

Корреляционная функция суммы случайных процессов равна сумме кор. функций слагаемых плюс сумме всех взаимных кор. функций этих слагаемых.

Для некоррелированных слагаемых с нулевыми средними значениями: