Санкт-Петербургский Государственный Электротехнический Университет «ЛЭТИ» Кафедра Биотехнических Систем

к.т.н., доц. Пустозеров Евгений Анатольевич

ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Лекция 2 – Характеристики случайных процессов. Одномерное случайное блуждание

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

•Средним значением случайного процесса ξ(t) (статистическим средним) mξ(t) называется математическое ожидание сечения случайного процесса в момент времени t, которое обозначается:

Оно определяется одномерной функцией распределения F(x,t) и в общем случае является функцией времени.

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

•Дисперсией случайного процесса ξ(t) называется дисперсия сечения случайного процесса в момент времени t, которая тоже определяется одномерным

распределением:

=

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

•Функцией корреляции случайного процесса ξ(t) называется математическое ожидание произведения сечений случайного процесса в моменты времени t1 и t2:

Она определяется двумерной функцией распределения F(x1,t1,x2,t2) и в общем случае зависит от двух аргументов: . Эту

функцию R ξ(t1,t2) называют также функцией автокорреляции.

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

•Функцией ковариации случайного процесса ξ(t) называется математическое ожидание произведения центрированных сечений случайного процесса в моменты времени :

При t1 = t2 = t функция ковариации совпадает с дисперсией Dξ(t) случайного процесса:

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

•• Коэффициент корреляции случайного процесса, или нормированной функцией ковариации:

В общем случае коэффициент корреляции является мерой линейной зависимости двух сечений ξ(t1) и ξ(t2) случайного процесса, то есть он показывает, с какой точностью одна из случайных величин ξ(t1) может быть линейно выражена через другую ξ(t2).

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

•Для двух случайных процессов ξ(t) и η(t) вводится понятие взаимной функции корреляции, или функции кросс-корреляции:

•Совместная корреляционная функция двух случайных процессов ξ(t) и η(t) определяется как матричная функция:

все элементы которой определены выше.

ОДНОМЕРНОЕ СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ

Пусть {ξn, n } – независимые одинаково распределенные случайные величины, P(ξn = 1) = p, P(ξn = -1) = q = 1-p.

Положим S0 = 0, Sn = ξ1 + … ξn.

Тогда процесс (Sn, n +) называется простейшим

случайным блужданием на прямой (одномерным случайным блужданием).

ОДНОМЕРНОЕ СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ

Случайное блуждание — математическая модель процесса случайных изменений — шагов в дискретные моменты времени.

•При этом изменение на каждом шаге не зависит от предыдущих и от времени.

•В силу простоты анализа эта модель часто используется в разных сферах в математике, экономике, физике, но, модель является существенным упрощением

•Случайные блуждания возникают в теоретических задачах и в приложениях теории вероятностей: последовательный статистический анализ и теория массового обслуживания.

ОДНОМЕРНОЕ СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ

Задачи при рассмотрении случайного блуждания:

1.Вероятность смещения на d единиц вправо или влево.

2.Вероятность непопадания в ноль.

3.Первое возвращение в исходную точку.

4.Общий случай возвращений в исходную точку.

5.Момент последнего возвращения в исходную точку.

6.Распределение времени пребывания на одной стороне.