Добавил:

CanyonE СПбГУТ * ИКСС * Программная инженерия Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича

Предмет:

Дискретная математика

Файл:

Ответы на экзаменационные вопросы / Ответы на экзаменационные вопросы по дискретной математике.pdf

Скачиваний:

121

Добавлен:

03.08.2020

Размер:

1.18 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

		Очевидно, что функция Эйлера — мультипликативная.
																																										( )						≡ 1( . )
		Теорема Эйлера. Для любого модуля																																										и любого числа																				.						,	взаимнопростого с
числом , имеет место формула Эйлера:																																																		249
числом , имеет место формула Эйлера:
		Пример. Найти остаток от деления числа																																																			на						. Заметим, что числа 174 и 13
																																														функции Эйлера от делителя:
взаимно просты. Сначала вычислим значение174																																																							13
		Тогда						174							= 174														12		= (174							)							(13).													12					20				249 = 12 20 + 9
		По						174							= 174														12		= (174							)			174																	12					20						20									.
		Затем разделим показатель																													степени 249 на																						с остатком:																									.
		Затем разделим показатель																															(13)					= 13 − 1 = 12
			249									249												12 20+9											12			20											9				(174									)				≡		1				( . 13)							9
174			249									9													174, и						≡ 1( . 13)																						(174									)				≡		1				( . 13)					174		9	≡
174						≡ 174и							( . 13)																															,				174 ≡ 5( . 13)																													174			≡
5				теореме Эйлера																								= 125																,		тогда													9 + 8 ≡ 8( . 13)																		, откуда
5	9	( . 13)															.							5		9		= 125				3											,			125 = 13													9 + 8 ≡ 8( . 13)
5		≡		8			( . 13)													8											таким						образом																	8																,		получаем						,		то
5	9	≡		8	3		( . 13)													8	3			= 512 = 13 39 + 5																														8		3			≡ 5( . 13)																			,		то
													так как																				, то с учётом																											( . 13) ≡																, получим
есть остаток174														249				≡ 174										9	( . 13) ≡									5	9	( . 13) ≡ 8																		3		( . 13) ≡													5( . 13)
получаем:																																														то есть																											. Окончательно
вычетов по модулю																				=
сложения и												при делении равен 5.																																																	\| = /
сложения и												Пусть																			— главный идеал кольца																														\| = /
		Теорема.										Пусть																			— главный идеал кольца																															.	Тогда множество классов
																							образуют коммутативное кольцо с 1																																																			с операциями
											умножения:																										+							= +
		Действительно,																	все						аксиомы																		=																						+ 0						=
																						(														),		для							любого 0																				+ 0						=
																																		кольца очевидны при таких введённых операциях
сложения и умножения. Нулевой элемент — это																																																										(																),	единичный
противоположный 1																													1 =															= 0
		Ранее было																	−																+ −									= 0										элемента																		можно			образовать
элемент — это																											такой, что																								.			элемента																		можно			образовать
																											такой, что																								.
														доказано,														что сумма и произведение классов вычетов не зависят от
																												+							= +											= +								= +
выбора представителей классов, поэтому кольцо \|																																																						коммутативно:
																		кольцо														— =															=							=
	). Кольцо									\|										обозначается\|														так:					= /( ):													2, 3					, 4						…
		Пример.								\|										5															7				= /( ):													2, 3					, 4																		(по идеалу
		Таким образом,																																	кольцо классов вычетов по модулю																																								(по идеалу
		Пример. Кольцо																	: 0, 1, 2, 3, 4, : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6																																		.
		/(3):									,				,													0, 1, 2									( . 3), 4 1																		, 5								2, 0								0
		1		+ 2						= 3 = 0															: 4 + 5 = 9 ≡ 0												( . 3), 4 1																		, 5								2, 0								0
		0		2					0				1				2			(или											) — кольцо классов вычетов по модулю.3.
		0		2					= 0							: 3 5 = 15 ≡ 0																	( .					3)					0.
		1		2					= 2							: 4 5 = 20 ≡ 2																	( . 3)										2.														2						+ 1					= 3					= 0
		Противоположный																					2					это		−2				= 1				. Действительно,																			2						+ 1					= 3					= 0			.
		Противоположный																										это										. Действительно,																																						.

11. Характеристика кольца. Теорема о характеристике кольца без делителей 0. Примеры. Кольцо классов вычетов. Примеры

Характеристика кольца

этим

1 =

1 + + 1

≡ 0

, для которого

Характеристика кольца

с 1

— целое положительное число

выполняется

и никакое другое положительное число, меньшее

свойством не обладает. Если такого

нет,

то говорят,

что кольцо имеет

характеристику 0.

1 = 0 = 0

имеет

Примеры.

1. Кольцо

имеет характеристику 0,

так как

;

кольцо

также

характеристику 0.

0( . )

классов

1 = ≡

2. Кольцо

, то естьмножествоклассоввычетовпо

,имеетхарактеристику .

Действительно

0, 1, 2

3 1 = 3 ≡ 0( . 3)

. В частности,

кольцо

то есть множество

+ +

вычетов по модулю 3:

, так как

то есть

(1 + + 1) = 0.

: =

характеристика

равна 3.

Лемма.

Если

то для любого

равна

характеристика кольца

Теорема. Характеристика любого кольца без делителей 0 (в частности, поля) либо 0,

то из определения характеристики

следует,

что

≠

= 0

либо простое

число.

Действительно, если нет делителей 0, то есть нет таких чисел

, что

имеются делители 0. Теорема доказана. =

либо

= 0

—

простое, так как в противном случае

1 = 0

и,

следовательно, = 0

то есть

Простой

2 5 = 10 ≡ 0 ( . 10)

имеет

Следствие.

— множество классов вычетов по

, где

— не простое,

делители 0. Например,

имеет делители 0:

12.

идеал. Необходимое и достаточное условие того, что идеал

кольца

— простой

Простой идеал

— всегда простой, так как это само кольцо .

Простой идеал

в кольце

— идеал, в котором из

следует,

что либо

, либо

либо оба.

. Так, например,

В кольце целых

прост при простом

—

прост, так как

= 3

Единичный идеал

— не простое. 3

чисел

идеал

, 10 6

6 = 2 3

6 , 30 = 3 10, 3

Теорема.

Идеал

содержит числа кратные 3. Идеал

— не прост, так как

не

Например,

кольца

является простым тогда и только тогда, когда кольцо

классов вычетов

содержит делителей нуля.

из

, где

Доказательство.

≡ 0

≡

≡ 0

, ,|

Кольцо классов вычетов

не имеет делителей 0 в том и только в том случае, если

+ ≡ 0 ≡

≡ + ≡ 0 ≡

, либо оба, но тогда: либо

следует, что

, либо

либо

, либо оба, что равносильно по

определению тому, что идеал

— простой. Теорема доказана.

13. Поле классов

вычетов. Минимальное поле. Примеры

Поле классов вычетов

Теорема. (Следствие из предыдущей.) Кольцо классов вычетов кольца целых чисел

по модулю

является полем тогда и только тогда, когда

— простое число.

: 0, 1, 2

= 1

= 2

2 2 = 4 ≡

Примеры.

— поле.

1 ( . 3)

−1

. Если

, то

−1

, так как

Все ненулевые

элементы

имеют противоположные

, делителей нуля

0, 1, 2, 3

2 2 = 4 ≡ 0 ( .

нет, то есть

, то

есть4 —

— есть делители 0, так как 4 — не простое.

не поле.

Минимальное поле — поле, не имеющее подполей, отличных от него самого.

Примеры.

1. Поле рациональных чисел

— минимально.

, 3, 5

, 7

, 11

…

целых

чисел

по

простым

модулям:

Поля

классов

вычетов кольца

— минимальные.

элементу

14. Евклидово кольцо. Свойства (8 свойств). Примеры

элемента

Евклидово кольцо

( )

, со следующими свойствами:

Евклидово кольцо

— кольцо

без делителей 0, в котором каждому ненулевому

сопоставляется целое неотрицательное

называемое нормой

( , ≠

0)(

, ≠

0): ( ) ≥ ( )

, причём либо

= 0

, либо

( )( ,

≠

0)(

)( ): ( = + )

( )

< ( )

либо оба (возможность деления с остатком).

Примеры.

( )

= | |

1. Кольцо

— евклидово кольцо с нормой

. Действительно,

не имеет

| |

≥

| |

делителей нуля, а введённая норма удовлетворяет условиям 1 и 2 определения:

[ ]

. Действительно:

, если

— целое, 2) деление с остатком введено.

( + )

гауссовых чисел

— евклидово кольцо с нормой

Кольцо

≥

целых

| |

+ , =

+ ( + )

= ( + )( + ) = ( − )

, если

)

+ (

, то

(

) = ( −

+ )2

+2 + 2

= 2 2−2 + 2

+ 2

= ( 2

+ 2)( 2 + 2) ≥ 2

+ 2

= ( )

( )

= ( 2 + 2)( 2 + 2) ≥

+ 2

= ( )

2)Можно ввести деление с остатком. Например:

То есть 7 + 3 = 2(3 + ) + (1 + ). Остаток: (1 + ).

1) Пусть

( )

, тогда

—

Кольцо многочленов от одной переменной

с коэффициентами в поле

= 0

+ 1 −1

+ +

= 0

+ 1

−1

+ +

евклидово кольцо с нормой

равной

степени многочлена

. Действительно:

[ ]

2) Алгоритм

( )

= ; ( )

= ; ( ) = + , + ≥ ; + ≥

без

если

такой, что

деления многочлена на многочлен известен.

, то |

(то есть

Пусть

— любое кольцо без делителей 0. Говорят, что

делит

делится

на

остатка),

. Запись:

Ясно,

что

делит

если кратно ,

есть если элемент кратен

кратно

то идеал ( )

то он кратен и

содержится в идеале ( )

Простой

евклидового кольца — необратимый элемент

—

необратимый элемент

= 1 =

евклидового кольца,

который

допускает лишь тривиальное разложение, то есть из

следует, что или

равенства

, или

обратимы. Например, в случае:

тривиальные делители числа

и .

Любое

число

которого

существует

нетривиальное

разложение

на

этих чисел:

—

±2, ±3, ±5, ±7, ±11

множители,

> 1составным

называется

±4, ±6

4 = 2 2, 6 = 2 3

±1

Свойства

Пример. В кольце

простые элементы:

… Причём сомножитель

обратим. Составные:

… (

)

евклидовых колец

I. В евклидовом кольце все идеалы главные.

( )

≠

Пусть

Доказательство.

— ненулевой идеал евклидового кольца

. Выберем в

элемент

(

с =

= −

любой

наименьшей

нормой

Тогда

можно

( )

< ( )

≠ 0

откуда

= 0

представить в виде

. Не может быть так, чтобы

наименьшей нормой), следовательно,

II.

Любое евклидово кольцо содержит 1.

при некотором

свойства

Доказательство.

Это

следует

из

Действительно, применим I к

, то

= 1

что

единичному идеалу.

Тогда

, откуда, в частности,

следует,

= 1

Для

любого

получаем, что

общий делитель)

Докажем, что

, то есть

есть

. Свойство доказано.

III.

представим в виде линейной комбинации

= + , ,

В евклидовом кольце

любые 2 элемента

имеют НОД (наибольший

который представим в виде:

, то есть

НОД(36,162)

= 18, 162 = 36 4 + 18, 18 = 162 1 +

(−36)

элементов

взять любой

), это легко

{ + | ,

}

Доказательство.

Рассмотрим множество

. Это идеал (так как это

сумма идеалов

проверить непосредственно, то есть если

элемент этого множества, умножить на любой элемент ко

льца,

то

следовательно

{ + }

снова попадаем в этот идеал.

= +

= ,

Так

как

евклидовом

кольце любой идеал

главный, то

такие,

что

такие,

что

IV.

VI.

VII.

, то есть

, так как

— элементы идеала

, то есть

для некоторого обратимого

то есть — есть НОД.

делится на .

−1

−1 =

случае делится на

В любом евклидовом кольце

тогда и только

тогда,

когда

(то есть

). В этом

элемента

= 1

−1.

Если

, то

. Обратное

Доказательство.

, откуда

вытекает, что

утверждение очевидно, так как в этом случае из разложения

Действительно, если

, то |

( )

< ( )

(строгое |

), но

, то

Если в евклидовом кольце

(

делит

не делит

В( )

> ( )

, откуда по определению

для некоторого

неравенство, так как

не делит

евклидовом

кольце

любой

ненулевой

необратимый

элемент

можно

Если

( )

, то хотя бы один

разложить в произведение простых сомножителей. (Доказывается при

помощи

из

индукции по

, то

делится на простой элемент

, то есть

( )

— прост).

сомножителей должен делиться на

(иначе говоря, идеал

, так как

не делится на

, иначе

бы

= НОД ( , )

То есть если

или

стороны, по свойству

Пусть

. С другой

Доказательство.

не делит

, то есть

. Тогда

Как

видим,

№3:

−1

−1−1

−1

каждое = + , =

делилосьна

. Отсюда следует, что

—

( + ) =

обратим, так как

— простое, следовательно

делится на . Свойство

(

делится на

), следовательно,

слагаемое делится на

доказано.

VIII.

Отсюда из трёх последних свойств вытекает: все элементы евклидового кольца

однозначно

с точностью до

обратимых элементов и порядка следования

[ ].

кольцо

[ ]

сомножителей разлагаются в произведение простых элементов.

15. Кольцо многочленов

Условия того, что кольцо

— евклидово

Кольцо многочленов

Многочлен (полином) от неизвестной

над кольцом — выражение вида:

0 + 1 + + = , (1)

(

полагаем равным

Элементы

— коэффициенты многочлена; все они или их часть могут быть равны

(

Степень). Если

= 0

для всех

, то

≠ 0

deg

deg 0 = −∞

, при этом не имеется в виду, что

многочлена — наибольшее

такое,

что

. Обозначается:

это отображение (функция).

( )

Многочлен чисто символически обозначается

Сумма и произведение двух многочленов определяются естественным образом:

deg( + )

≤ max{deg

, deg }

[ ]

— обозначение

deg( )

≤ deg + deg

множества всех многочленов от

с коэффициентами из

Утверждение. Операции сложения и умножения определяют на множестве

[ ]

степени

структуру кольца, тем самымпревращают

в кольцо. Многочленынулевой

[ ]

вместе с 0 образуют подкольцо

констант

, изоморфное кольцу .

[ ]

+ deg

Это очевидно, так как

deg( ) = deg

Утверждение.

Если — кольцо без делителей 0, то в

имеет место равенство:

старшие коэффициенты многочленов

соответственно,

тогда старший член

—

(то есть

—

)≠.

≠ 0

Следствие. Если

старший член многочлена

, где

—

(

)

deg( ) = +

[ ]

причём

Утверждение.

[ ]

кольцом с нормой

таким образом

( )

кольцо без делителей 0, то

также не имеет делителей 0.

= deg

кольцо многочленов

является евклидовым

Для любого поля

Действительно, в поле нет делителей 0, введённая

норма удовлетворяет всем аксиомам нормы и алгоритм деления

16. Приводимые

[ ]

многочленов также введён.

Следствие. В кольце

обратимы ненулевые константы, и только они.

( )

[ Теорема]

Безу

. Примеры.

и неприводимые многочлены в кольце

Теорема о разложении

на произведение

неприводимых множителей.

[ ]

Аналогично простым числам

простые элементы в кольце

[

]

имеют специальное

название.

которого выполняется

( ) = ( )

( )

[ ]

. В

( )

неприводимым

, для

Приводимый над полем многочлен

— многочлен

в кольце

( ), ( ) [ ]

( )

для подходящих непостоянных многочленов

Примеры.

противном случае

называется

над .

Замечание. Приводимость или неприводимость данного многочлена существенно

зависят от поля .

+ 1

+ 1 =

( − )( + )2

неприводим над полем

, но приводим над полем

Многочлен

− 2

1, 2, 3, 4, 5, 6}

{0, 1, 2}

Многочлен

{0,

неприводим над

, но

неприводим над полем

приводим над

− 2|=3

2 − 2

Действительно, в

= 9 − 2 = 7 ≡ 0 ( . 7)

— 3 и 4 — корни многочлена

− 2|=4

= 16 − 2 = 14 ≡ 0

( . 7)

( 2 − 2) = ( − 3)( − 4)

= 2

− 3 − 4 + 12 = 2

− 7 + 12 ≡ 2 + 5 ≡

Замечание.

Из

равенства

≡

− 2 ( . 7)

ясно, что

линейные

deg(

) = deg + deg

многочлены (то есть первой степени,

deg 1

= 1

) неприводимы над любым полем.

Над

полем (комплексные числа) неприводимы только линейные многочлены

(вспомним

основную теорему алгебры: любой многочлен имеет хотя бы один корень,

вещественный или комплексный, откуда следует, что любой многочлен в

раскладывается на линейные множители).

Над полем

(вещественные числа) неприводимы, кроме линейных, квадратные

многочлены с

отрицательным дискриминантом.

Над полем

(рациональные числа) существуют неприводимые многочлены любой

степени.

можно представить в

старшими коэффициентами.

Утверждение.

Любой непостоянный многочлен

виде

произведения

константы

неприводимых многочленов с единичными

( )

[

]

множителей.

Это разложение единственно с точностью до порядка

Замечание. Это утверждение верно для многочленов от любого члена переменных

в том и

( )

[ ]

( − )

над любым полем.

( ) = 0

( )

, тогда

Теорема Безу. Пусть — коммутативное кольцо,

делит

только в том случае, когда

[ ]

( )

(

− )

Необходимость

, то есть

( −). )| ( )

Доказательство.

( ) = 0

(Для) =

( − )

( )

то есть

очевидна (если

( )

доказательства достаточности отметим, что для любого

( )

− ( ) =

−

(

− ) =

−1

= ( − )

− −1

( −1 + −2 + −3 2

+ + −1) = ( − )

−

Тогда, −

(

)

( − )| ( ) −

( )

−1

−2

−3

+ +

−1

Действительно,

= 0

при

делении

на

даёт в

остатке

в частном

( )

( − )|

( )

очевидно,

для

если же

, то

. Теорема доказана.

[ ]/ ( )

Число элементов этого поля

17. Расширение поля (надполе). Теорема о том, что кольцо классов вычетов

по модулю неприводимого многочлена есть поле. Степень

расширения.

кольца ( ) по модулю

является кольцом без

[ ]

( )

Расширение поля

Если

— неприводимый многочлен над полем

, то кольцо классов вычетов

многочлена

есть поле.

делителей нуля (это следует из

[ ]/ ( )

последней теоремы 12-го вопроса). Однако справедливо более сильное утверждение.

Теорема.

( )

классов

вычетов

по

модулю

неприводимого

Кольцо

( )

Доказательство.

НОД = 1

[ ]

( )

Пусть

— любой представитель любого класса вычетов (не совпадающего с

Так как

— неприводимый многочлен, то многочлены

—

взаимнопросты,следовательноих

.Атогда,таккак

— евклидовокольцо,

отсюда

ясно,

что

( )

(так

как( )

( ) + ( ) ( ) = 1

, то есть кратна( ) (). ) ≡ 1 . ( )

что

( )

( ) −

то в нём найдутся многочлены

такие,

( )

−1

(. Таким)

образом, все классы, кроме нулевого,

обратимы, то ( )

( )

разность

содержащему

, то есть

Поэтому

принадлежит классу,

обратному к классу,

есть

[ ]

Ясно,

что поле

над полем

является подполем поля .

В этом случае поле

которых меньше,

= [ ]/ ( )

называется расширением (или надполем) поля .

Сложение таких

deg ( )

представить в виде многочленов, степени

Элементы поля

можно

кратное

чем

(представителей соответствующих классов вычетов).

( )

многочленов осуществляется как обычно, а после умножения надо

переходить к остатку от деления на

, то есть от любого многочлена можно отнять

( )

≥ deg ( )

На

замену

степеней

(если

)

линейными

практике используют

Тогда

( )

= + −1

−1

+ + 1 + 0

комбинациями меньших степеней

Действительно, пусть:

≡

−1

(− ) . ( )

и далее:

−1

(−

)

−2

≡

−2

−1

≡

(− +1) − −1

(− )

−1

—

( )

Очевидно,

что

многочлен

Таким образом

выражен через степени не выше

, то есть не выше степени

модулю с ( )

= 2

+ 1. 3[ ]/(

( )

= 4

+ 2 3

− 32

+ 1 и

+ 1

Пример.

Пусть

поле

неприводим. Возьмём элемент этого поля

≡ −1

. ( )

сравним его по

Тогда

+ 2

+ 1 ≡ 0

. ( ) 2

−

+ 1 =

( + 2)

− + 1 ≡ −( + 2) + 2 ≡

−1

1+1

≡ −2 − 2 + 2 ≡ −2 ≡ . ( )

Заметим ещё, что любое расширение1

поля

можно рассматривать как векторное

пространство над

. Если

образовано,

как в

теореме 1 (текущего вопроса), то базис

= deg ( )

пространства называют степенью1, ,

, … ,

классов,

которым

этого векторного

пространства

состоит из многочленов (точнее,

— степень расширения

над

[ : ]

принадлежат эти многочлены):

−1

где

. Размерность этого

= ( )

[ : ]

Теорема. [ ]/(

расширения

над

и обозначают

+ 1) = [ ]; [ : ] = 2

Обозначение:

Пример.

элементов, где

= [ ]/ ( )

= [ : ]

— надполе поля

характеристики

состоит из

Любое конечное поле

— степень расширения.

[ : ]

. Но тогда всякий элемент

Доказательство.

причём

{ 1

, 2, … , }

Пусть

. Это значит, что векторное пространство

над полем

имеет базис

из

элементов:

однозначно представим

каждый коэффициент

, = 1 …

может принимать

= 1 1

+ +

следует, что число

виде

линейной

комбинации

базисных элементов:

различных значений.

Отсюда

таких линейных комбинаций равно

. Теорема доказана.

18. Поле Галуа. Примеры полей Галуа как

расширения полей. Таблицы

сложения и умножения

(

)

неприводимые

= ( )

Поле Галуа

— конечное поле, содержащее

элементов. Обозначается

Над

полем

вычетов

(в

поле

—

элементов)

существуют

многочлены любой степени, поэтому кольца классов вычетов

по модулю неприводимых многочленов образуют конечные поля любой

степени над

/ ( )

. Многочлены одинаковой степени приводят к одним и тем же (изоморфным) полям;

: 0, 1

(0) = 0 + 0 + 1 0

( . 2)

( ) =

+ + 1

никаких других полей из конечного числа элементов не существует.

Пример. В

поле

— всего 2 элемента.

Многочлен

—

неприводим. Действительно2

(1) = 1 + 1 + 1 = 3 0 ( . 2)

. (2

= 2

[ ]/( 2+ + 1)

= 2

= 4

(то есть корней в

нет)

( . 2)

+ + 1

= −

− 1 ≡ + 1

Построим

поле Галуа

. Степень расширения равна 2.

. Построим таблицы сложения и

+ 1

0, 1, , +

Элементов

Из

. То

есть в

таблице умножения будем заменять

на

. Тогда элементы этого поля:

умножения:

Таблица 7

, 2

+ 1, 3 =

Замечание.

Легко

убедиться в том, что в поле

)

все ненулевые элементы

= ( + 1)

+ = + 1 + ≡

1 =

являются степенями одного элемента .

Действительно,

( )

−1

= 1

Теорема. Пусть

— степень простого числа . Любой ненулевой элемент поля

удовлетворяет уравнению:

— снова

( )

1, 2

… −1

Доказательство.

1, 2

… −1

, отсюда

. Теорема

( ), ≠ 0

Пусть

— все ненулевые элементы поля

. Возьмем любой элемент

доказана.

… −1

= −1

… −1

−1 = 1

Тогда

все

ненулевые

элементы поля.

Следовательно,

Следствие. Любой элемент поля

удовлетворяет уравнению

. Для

— простого это так называемая

малая теорема Ферма:

( )

Следствие.

поле

≡

для всех целых

на

линейные

многочлен

раскладывается

( . )

−

множители:

( )

−

( − )

неприводимый( )

делит

многочлен

(

Следствие, то.

При

= ( )

многочлен

. ( )

есть

где

−1

такой,

Теорема.Влюбомконечномполе

существует(хотябыодин)элемент

−

(

−

1) ( )

= deg ( )

этого

поля

являются

степенями

элемента

что все

ненулевые

элементы

( )

−2

. То есть мультипликативная группа конечного поля

является

( )

циклической группой порядка

1, ,

, … ,

Доказательство.

теореме (текущего вопроса), любой ненулевой элемент

По первой − 1

поля является корнем уравнения

−1

. Но умногочлена степени

не более

корней. Поэтому

равен

числуненулевых элементов поля.Но это иозначает, что

= 1

− 1

−

мультипликативная группа поля циклическая: существует такой элемент

, что его

− 1

порядок совпадает с порядком группы (и тогда все элементы группы являются

степенями этого элемента).

Примитивный

элемент

конечного

поля

— элемент

конечного

поля,

удовлетворяющий условиям предыдущей теоремы (то

есть

порождающий

мультипликативную группу поля).

Примитивный многочлен — неприводимый многочлен, корнем которого является

любой его корень имеет (2

)

+ 1

примитивный элемент.

= 1, , 2, … , 14

Пример.

Над полем

многочлен

является примитивным, так как

, ,

, , ( =

+ 1),

= 2

+ , (

= 3 + 2), (

+ 3

+ + 1)

( = 4

+ 2

15 разных степеней:

+ ), (

= 4

+ 2

= 2

+ 1)

+ =

+ 1),

(

= 3

(

+ 2

+ ),

(

= 4

+ 3

= 3

+ 2

+ +

+ 1)

То есть( все=

+ 1),

(

корень

этого уравнения (

+ 1

степени корня разные.

= 1

А неприводимый многочлен

— не примитивен, так как любой

То есть

, ,

, (

+ + 1),

+ = 1

= 5 = 1

многочлена), очевидно, удовлетворяет уравнению

уже

. Две степени корня совпали.

Таблица всех неприводимых многочленов полей																			( … ) ( … )												( )
Таблица всех неприводимых многочленов полей																						,								,	Таблица 8
																															Таблица 8
		(	)					многочлены														многочлены
	Поле			Количество											Неприводимые многочлены
	Поле			элементов	Все неприводимые																	Примитивные
				4
		3		8					3 + 2 + 1													3				+ 2 + 1
	(24)			16	4					4			+ 3				+ 1						44			+	3		+ 1
					4			+			3		+			2	+ + 1									+			+ 1
				32						5			+ 3				+ 1						5			+	3		+ 1
		5				5		+			3		+			2	+ + 1				5	+		3		+		2	+ + 1
	(2 )					5		+			4		+			2	+	+ 1			5	+		4		+		2	+		+ 1
						5		+			4		+			3	+	+ 1			5	+		4		+		3	+		+ 1
					5		+ 4						+ 3				+ 2	+ 1		5		+	4			+	3		+	2	+ 1
				64		6				64+ 32+ 1										6		+		6		+		+ 1
				64		6		+			4		+			3	+ + 1			6		+		4		+		3	+ + 1
		6						+					+				+ + 1						6			+	5		+ 1
		6				6				6					5						6			5		+		2	+ 1
	(2 )					6					5+					2+ 1		+ 1			6	+		5		+		2	+ + 1
								+					+				+	+ 1		6			5				3			2	+ 1
					6		+ 5						+ 3				+ 2	+ 1			6+			5+				4+			+ 1
						6		+			5		+			4	+	+ 1				+				+			+		+ 1
					6		+ 5						+ 4				+ 2	+ 1
	(32)			9							2		+			+ 2							22						+ 2
									2			+ 2 + 2														+ 2			+ 2
										3				2			+ 2						3			+ 2 + 1
		3		27					3			+ 2					+ 2						3			+ 2 + 1
		3						3 +						2	+ + 2						3 + 2 + 2 + 1
	(3 )					3			+ 2 + 2 + 1													3			+ 2 2				+ 1
								3			+ 2 2						+ 1				3 + 2 2						+ + 1
						3			+ 2 2 + + 1
								3	+ 2					2	+ 2 + 2
								3						2
				не простое число, поэтому не образует																поля
												2			+ 3
											2		+			+ 1								2		+		+ 2
		2		25							2		+			+ 2								2		+		+ 2
		2								2		+ 2 + 3											2			+ 2 + 3
	(5 )									2		+ 2 + 4											2			+ 3 + 3
										2		+ 3 + 3											2			+ 4			+ 2
										2		+ 3 + 4
										22		+ 4 + 1
												+ 4					+ 2
				не простое число, поэтому не образует																поля

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Ответы на экзаменационные вопросы