{( , )|

, , =

2}

—

функция.

Но

как ему,

=

уже

функцией не

является, так

−1

=

Пример.

На

2

вещественных

чисел

задано

отношение

множестве

{( , )|

, , =

}

обратное

отношение

Чтобы условие

(4,2)

(4, −2)

− , функция должна быть

принадлежат пары

и

.

например,

однозначности выполнялось для

биективной. (Если функция будет инъективной, то

может не найтись какой-нибудь

для , а если будет сюръективной, то могут найтись два или более

для .)

математики,

= ( )

= ( )

Рисунок 18

Вместо «

» некоторые пишут «

». На деле же

как ни странно, не могут, да и не пытаются, прийти к общему

композицию так, как будете её использовать в дальнейшем.

этом

( )

−1

=

−1

−1.

, тогда

Композиция взаимно однозначных функций — взаимно однозначная функция, при

( ) =

√

, ( ) = 2

+ 1

Пример. Пусть

( )( ) = √2 +

1, ≥ −0.5, (

)( ) ≥

0

(

( )( ) = 2√ + 1, ≥ 0, (

)( ) ≥ 1

4

Из примера

)( )

= 2(2 + 1)

+ 1 = 4 + 3, ( )( )

= √

( )( ) ≠ ( )( )

видно, что композиция — некоммутативная операция:

множества классов эквивалентности. Это множество классов эквивалентности

классов

/

по отношению эквивалентности

и

называется

фактор-множеством множества

обозначается

. Так как классы эквивалентности

не пересекаются, то каждыйиз

этих

однозначно определяется указанием любого его элемента.

Примеры:

1. Отношение сравнимости по модулю

, заданное на множестве целых чисел,

является отношением эквивалентности.

Фактор-множество по этому отношению

).

/

называется группой вычетов множества целых чисел по модулю

и обозначается

= {…

, −3, −2, −1,0,1,2,3, … } = {… , −3 , −2 , − , 0, , 2 , 3 , … }

или

(под

понимается множество всех целых чисел,

делящихся на :

Каждый

деления на , его

, но под каждым из этих чисел понимать не только его, но и весь

класс смежности — это множество целых чисел, которые дают одинаковый остаток от

=

{0,1,2, … , −

1}

можно задать любым его представителем, например, можно писать

класс смежности, к которому оно принадлежит. В частности,

— это

фактор-множество множества всех целых чисел по

подмножеству чётных чисел, 0

/2 = 2 = {0,1}

, то есть функция

,

в

множество

называется

Напомним,

что

отображением

множества

:

→

сопоставление каждому элементу

множества

некоторого элемента

из множества

элемента

.

= ( )

некоторый

сопоставляющая каждому элементу

элемент

:

; приэтом

называетсяобразомэлемента

, а

— прообразом

«в», если у

инъекцией

называется

мономорфизмом

,

или

,

или отображением

Отображение

каждого элемента

имеется не более одного прообраза.

Отображение

сюръекцией, или проекцией,

или

называется эпиморфизмом,

или

на», если у каждого элемента

имеется хотя бы один прообраз.

отображением «

изоморфизмом,

биекцией,

Отображение

называется

или

или

взаимно

однозначным соответствием

, если оно является одновременно и сюръекцией, и

инъекцией. Иными словами, это отображение, при котором у каждого

имеется

сопоставляет его прообраз при

→

прообраз, причём только один (таким образом, при таком соответствии

существует и

−1

( ) =

обратное соответствие,

обозначаемое

−1:

,

которое каждому элементу

записывается

отображении

:

).

Два множества

и

называются эквивалентными, или

равномощными

(что

символом

), если между ними можно установить взаимно

грубо говоря, эквивалентные множества — это такие, у

однозначное соответствие (~

которых

одинаковое число

элементов;

это

понятие

позволяет

сравнивать

даже

— большую мощность,

бесконечные множества).

Говорят, что множество

имеет меньшую мощность, чем множество

, а множество

чем множество , если не существует биекции между

и

,

но существует биекция между

и некоторым собственным подмножеством множества

.Мощность

множества — символ,

который

:

| |

всем

сопоставляется

множествам

одинаковой мощности. Обозначение мощности

множества

| |

= =

двойное

абстрагирование») или какой-нибудь греческой

буквой, например,или

̿(«

.

В

= 64

Например,

частности,мощностьюконечногомножествасчитаетсячислоегоэлементов.

̿

̿

̿

= 7

, а если

— множество дней

если — множество клеток шахматной доски, то

недели, то

.

Справедлива теорема Ф. Бернштейна «о трихотомии»: для любых двух множеств

= ,

< , >

соответственно обязательно выполняется одно из 3 соотношений:

с мощностями и

(то

есть

любые

два множества сравнимы

по

количеству

их

элементов).

Очевидно, что отношение эквивалентности множеств обладает всеми свойствами

2.

~

понятия эквивалентности:

.

3. Если

~

и

~, то

1.

.

~

~

~

Если

, то

.

=

= {1,2,3, … , }

Счётные множества

— множества, равномощные с натуральным рядом, то есть с

множеством

;

их мощность обычно обозначается символом

.

Иными словами, счётные множества — это те множества, элементы которых

можно

расположить в одной последовательности

(индекс и есть то натуральное

число, которое сопоставляется элементу

счётного множества). Например, множество

1, 2, … ,

( ) = 2

,

или

= 2

.

Интересно, что множество

всех рациональных чисел

всех

чётных чисел

счётно;

соответствующая

биекция

=

тоже счётно (напоминаем, что

). Иными словами,

рациональным числом

называется отношение двух целых чисел

справедлива теорема:

.

Доказательство.

все

дроби, у

которых

сумма

числителя

и

Запишем сначала

), следующие 4 дроби

= 2

, =

1

= 3 ,

=

1

2

1

знаменателя равна 2 (такое число одно:

=

4

1), затем те, у которых сумма числителя и

2 , 6

= 1

7

, 8 = 3 , 9 = 2 , 10 =

1

2

3

1

2

3

4

знаменателяравна3 (то есть

2таковы3:

1),=затем1

те,у которыхонаравна4 (

. В этой5

, и так далее4

последовательность

всех положительных рациональных чисел,

в которой каждое

число встречается только

один раз. Чтобы расположить в одну последовательность все

рациональные числа

—

положительные, отрицательные

и

0,

составим

из

. В последовательности

расположены

все

1 = 0, 2

=

, 2 +1 = − , = 1,2,3, …

их множество счётно

последовательности

новую последовательность

по

правилу:

рациональные

числа, причём каждое — по одному разу, а это означает, что

.

Кроме того, следуя следующим простым шагам, можно построить дерево из всех

Значение

1/1

:

.

положительных рациональных дробей:

•

Начинаем с

в вершине дерева.

/

( + )/

нижнего левого узла относительно текущего

•

: /( + ) .

•

Значение нижнего правого узла относительно текущего /

Мощность континуума — мощность множества всех вещественных чисел

Рисунок 19

. Также

термин «континуум» может обозначать само множество вещественных

чисел , или

даже любое континуальное множество (любое бесконечное множество,

равномощное

множеству

действительных чисел).

несчётно.

Теорема.

, то есть множество точек отрезка

,

но имеет

[0,1]

: [0,1]

=

множества, имеющего мощность континуума: множество всех точек

Пример

[0,1]

счётное

<

отрезка

; его мощность обозначается символом

счётно. Осталось доказать, что не существует биекции

=

[0,1]

Доказательство.

Предположим, что подмножество точек

1 отрезка

этого отрезка

на

счётное

множество. Предположим противное: что такая биекция

отрезка

существует, то

однозначно,

[0,1]

последовательность

есть все точки отрезка можно расположить в одну

[0,1]

.

Каждое

число отрезка

можно записать в виде бесконечной десятичной

дроби,

причём

числа

если

исключить

записи,

в

которых

после

некоторой

цифры

все

. Составим ( )

= = 0, 1 2

3

…

…

последующие цифры равны 9. Обозначим последовательные десятичные цифры числа

, то есть

,

, то есть число

через

(знак «

где

»

означает

-ую цифру

бесконечное

» или «

=

0, ( 11

± 1)( 22 ± 1)( 33

±

1)

… (

± 1)

…

+

−

отличается на 1 от соответствующего десятичного знака числа

,

например

.

[0,1]

перед единицей можно

выбирать произвольно, если только соответствующая цифра

не является нулём или

десятичная1, 2

, 3, … ,

=

девяткой).Эточисло

принадлежитотрезку

должносовпадатьсодним

ипоэтому

из чисел

Но оно не может совпадать с

,

так как

по построению). Полученное

у чисел

и

— разная (они отличаются на единицу

цифра с номером

теорема доказана.

противоречие доказывает, что предположение неверно, и

.

[0,1]

и 1. Всезадаётся формулой

Следствия.

= +

( −

)

[ , ]

отрезки имеют мощность континуума. Действительно, биекция между

установить биекцию

м жду [0,1] и (0,1). Построим её так:

2. Любой интервал имеет мощность континуума. Для доказательства достаточно

1

, если

= 0

2

1

( ) =

, = 0,1,2,3, … ;

[0,1], ( )

(0,1)

4 , если 1= 2

3. Множество , если

≠ 2

и ≠ 0

[0,2 )

существует биекция между

и

.

точек любой окружности имеет мощность континуума: очевидна

4. Множество точек

[0,2 )

[0,1]

, а по предыдущему

биекция между окружностью и полуоткрытым интервалом

5. Множество точек

= tan ,

−2

, 2 , (−∞, ∞)

≤ ≤ , ≤ ≤

любой прямой имеет мощность континуума.

( , )

= [ , ] × [ , ]

.

Соответствующая биекция: