3. Обратное

(

−1

) =

′−1

=

( )

−1.

Следовательно,

→

Имеем:

−

:.

Так как

( ) = ′,

( ) = ′

, то

−1

.

отображение

тоже является изоморфизмом.

( ) = ( ) ( )

)

,

=

( ) ( )

(

)

=

−1

(

), =

−1

(

−1

(

)

−1

(

)

=

−1

′

′

′

′

′

′

Так как

−1

то

′

.

Следовательно,

является изоморфизмом группы

на группу .

1.

Отображение мультипликативной группы положительных действительных чисел

lg

2.

+ на аддитивную группу всех действительных чисел

, при котором всякому

.

Всякая

lg( ) = lg + lg

этого числа

ставится в соответствие десятичный логарифм

свойством

, то есть является изоморфизмом.

бесконечнаяциклическаягруппаизоморфна группецелыхчисел

корней

-й степени из единицы.

группе

Теорема.

3.

Всякая циклическая группа порядка

изоморфна мультипликативной

= 1

Кольцо

Кольцо — множество

с двумя

бинарными операциями: сложение « » и

умножение « », которые

обладают следующими свойствами:

+

( , ) + =

1.

Замкнутость:

2.

Ассоциативность сложения и( , ) =

( , , ) +

+ = + ( + ) = ( + ) +

умножения:

3.

Коммутативность( , , ) = ( ) = ( )

4.

Дистрибутивность

( ,

) + = +

сложения:

( , , ) ( + ) =

+

5. Существует элемент

( , ,

) (

+ ) =

+

=

нейтральным

0

такой, что

( ): + 0 = 0 +

. Он называется

6.

такой, что

.

−

.

элементом для сложения.

+ (− ) =

−

= 0

Существует для любого

противоположный элемент

для сложения

=

Коммутативное кольцо — кольцо, в котором умножение коммутативно, то есть

Подкольцо

— подмножество

кольца

, если оно само

является кольцом

1

операций

и

на подмножество

относительно ограничения

1

. Для этого достаточно,

чтобы удовлетворяло всем

аксиомам кольца и результаты сложения и умножения

+

1

принадлежали .

( )

1 = 1 =

Иногдаподкольцомпонимают1

операции умножения

Кольцо с 1 (единицей1

)

— кольцо

, в котором относительно

существует нейтральный элемент «

»:

.

кольцо чётных чисел (

) является коммутативным кольцом без единицы.

Замечание. Кольцо2

относительно сложения образует коммутативную группу,

которая называется

аддитивной абелевой группой кольца.

Замечание. Множество всех обратимых элементов кольца

с

1 относительно

или

.

≠ 0, ≠ 0

умножения образует группу, которая называется

мультипликативной группой кольца.

= 0

= 0

,принадлежащиекольцу

,длякоторых

Делителинуля— элементы

Область целостности — коммутативное кольцо без делителей

0

.

разностью (вычитание основано на аксиомах кольца — благодаря наличию обратных

Правила знаков (выводятся из − = +

(−)

элементов по сложению):

= (− ) = −( ),

(−)(−)

=

Умножение в

(−)

аксиом кольца):

кольце дистрибутивно относительно вычитания (также выводится

Замечание. Если один

из ( − ) = −

из аксиом кольца):

(справедливое для 0 = ( − ) = − = 0

, то

произведение равно 0.

сомножителей

равен

Действительно,

.

Обратное утверждение

( . ,

,

)

=

+

(1),

(

)

=

(2)

Примеры

1.

(

Множество

— область целостности без 1, а

— область целостности с 1.

2. Множества {0}(целые числа),

числа), (вещественные числа),

(рациональные {0,1}

комплексные числа) — области целостности с 1 (коммутативны и не имеют

делителей нуля). Причём

— подкольцо

,

— подкольцо

,

— подкольцо .

3. Множество

чётных

чисел — область целостности без 1.

5. Множество

= ±1

:

чисел, кратных

— область целостности. (В этом кольце есть

4. Множество 2

Причём

— подкольцо кольца .

единица только при

.)

нечётных чисел — не кольцо, так как нет замкнутости и нет .

6. Множество

квадратных

матриц

порядка

с

элементами

из

некоторого

0

коммутативного кольца

— просто кольцо с 1 (здесь уже некоммутативное

умножение на уровне

матриц и есть делители нуля). При

получаем кольцо

=

квадратных матриц порядка

над

.

=

7. Множествомногочленовс

коэффициентамиизнекоторогокоммутативногокольца

— область целостности с 1. При

получаем область целостности с 1

область целостности с 1.

.

+ = { +

| , }

многочленов с целыми коэффициентами:

—

8. Множество целых комплексных (

гауссовых) чисел

[

]

+ √2| ,

9.

область целостности с 1.

чисел

специального

вида

—

Множество

вещественных

но с

2

( , 0) (0, )

=

(0,0).

( , )

•

Сложение:

) — коммутативное кольцо с 1,

10.

Множество

(множество пар целых чисел

• Умножение(: , ) +

( , )

=

(

+ , + ).

делителями нуля

), если определены:

11.

4

( , )

( , )

= (

, )

2 + 2 = 0

4

В

кольце

= {0,1,2,3}

элемент

2

— делитель

0:

. То

есть

—

когда

=

{0,1,2, … , − 1}

коммутативное кольцо с 1, но с делителем нуля.

12.

2 =

{0,1}

Кольцо

— область целостности с 1 тогда и только тогда,

— простое число. В частности,

.

Поле

Поле

— коммутативное кольцо с

, в котором для каждого элемента

Подполе

поля

,=

= 1

найдётся такой единственный обратный

элемент

−1

, что

≠ 0

1

— подмножество

−1

−1

если оно само является полем относительно

ограничения операций

и

на подмножество .

Для этого достаточно, чтобы

1

1.

аксиомам поля и результаты сложения и умножения принадлежали

удовлетворяло всем

+

1

1

группу, которая называется мультипликативной группой поля. Так как в поле

единственное решение, так как

( , и

)

=

=

умножение коммутативно, то эта группа поля также коммутативна.

−1 .

Замечание.

имеют

0

= 0, ≠ 0

и

Очевидно, что

уравнения

≠ 0

не имеют

= 0, = 0

при

=

при

−1, тогда

−1

,

то есть≠ 0, ≠ 0,

= 0

— не

= 1

=

= 0

. В

Замечание. В поле нет делителей 0. Действительно, пусть

поле существует

противоречие, значит

делители 0.

В любом поле: ÷ =

, Деление

— обратная операция для умножения. Её результат — частное.

Обозначается:

.

.

•

= −1

= −1

•

=

( . )−1

.

•

( )−1

= −1 −1 = −1 −1

•

( )−1

=.

( −1)

−

= ( )−1

0

= 1

любого

≠ 0

в поле.

Можно также положить

и

, то есть определить степени для

0 1 = 0

Примеры.

1. Множество

— коммутативное кольцо без делителей нуля, но не поле, так как

3. Множество

{0,1}

отсутствует

1.

4.

—

— поле.

±1

2.

Множество

.

5.

, ,

(кроме

).

не поле, так как нет обратных элементов

поля. Причём

— подполе поля

, а

— подполе поля

Множество матриц порядка — не поле, во-первых, некоммутативно умножение,

6. Пары

чисел

— не поле (

≠ 0

7.

во-вторых, не для всех элементов

естьобратные (обратная матрица естьтолькодля

( , )

,

) матриц).

невырожденных (у которых определитель

— целые, то не поле (нет обратных

+

,

существуют делители 0).

Множество комплексных (гауссовых) чисел

2если

с

— поле. Если же и

9. Множество из двух элементов

и

— +

√,

,

8. Множество

,

0

1

элементов).

0

и

{0,1}

, где

— поле.

вещественных чисел вида

0 = 1 1 = 0 0 1 = 1 0 = 1

0 0 = 0 1 = 1 0 = 0

ввести операции сложения

число. В

= {0,1,2, … , − 1}

умножения

,

— есть поле.

{0,1}

Кольцо

2

=

— поле тогда и только тогда,

когда

— простое

10.1 1 = 1