Добавил:

CanyonE СПбГУТ * ИКСС * Программная инженерия Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича

Предмет:

Дискретная математика

Файл:

Ответы на экзаменационные вопросы / Ответы на экзаменационные вопросы по дискретной математике.pdf

Скачиваний:

122

Добавлен:

03.08.2020

Размер:

1.18 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

из этого

′

отношению к

′

Элемент

моноида

— обратимый, если

для него найдётся такой элемент

моноида

′

что

′

где

— нейтральный элемент

по

левым

операции «

». Понятно, что элемент

в таком случае тоже обратимый.

Этот элемент

′ называется

обратным по

обратимым слева и/

то

называется

первое равенство (

′

обратным элементом, а если

только второе (

= ),

то правым. При этом

называется соответственно

или справа.

Теорема. Обратный элемент единственен.

(

)

= =

Не все элементы

= ( )

Доказательство.

Пусть′

и′

′ — два обратных′

элемента′

по отношению к . Тогда:

{0, ±1, ±2, … }

−1

имеют

обратные

элементы.

Например, в

моноидов

не

только

обратимы

(остальные элементы имеют обратные, =

принадлежащие

но принадлежащие ).

= ′

′

Доказательство.

( )′

Теорема . Если

обратимы, то

тоже обратим, при этом

Следствие.( ) ( ′

) =

(

)

′

= ′ ′

′

Действительно, в силу ассоциативности операции « » выполняются равенства:

Группы

Элемент

также обратим, при этом

(

)

рассматриваются далее.

5. Группа. Абелева группа. Аддитивная группа. Мультипликативная группа. Конечная группа. Таблица Кэли. Циклическая группа. Декартово произведение групп

замкнутая),

Группа

— моноид, все элементы которого обратимы. То есть группа — это

множество , в котором введена бинарная операция «

» (напомним, обязательно

2. Существует

( , ,

)

= ( )

удовлетворяющая трём условиям:

1. Ассоциативность:

существует

= = , то есть такой, что

нейтральный элемент , то есть такой элемент, что для любого

элемента

′

справедливо равенство

У каждого элемента

являе

обратный

Очевидно, что любая группа

тся полугруппой (моноидом), а обратное неверно.

Подгруппа

— подмножество

группы

если оно само является

группой

операции

относительно ограничения

. Для этого достаточно,

чтобы

было моноидом и у каждого элемента

существовал обратный

′

Коммутативные группы (то есть группы, в которых операция « » коммутативна, то

есть

)называютабелевыми.Внихгрупповуюоперациюобычноназывают

обратный к

называют

−

(нуль);

сложением и обозначают «

»; нейтральный элемент обозначают символом

противоположным элементом и обозначают « ».

В некоммутативных группах групповую операцию обычно называют умножением,

Если

как

»;

нейтральный

элемент

символом

(единица);

обозначают

обратный к

называют

обратным элементом и обозначают «

−1

».

групповая операция — сложение, то группу называют аддитивной, а если

умножение — мультипликативной.

Примеры:

1. Аддитивные абелевы группы: множества

группой не является, так

как в

0 = 1

(у нуля нет такого

Мультипликативные абелевы:

множества, , ,

обратного

элемента

чтобы

множество

мультипликативной

); 0, 0, 0

4. Группа

(

{1,

−1}

нем всего лишь два обратимых элемента —

3. Множество

является мультипликативной абелевой группой.

−1

рациональных чисел) — подгруппа аддитивной абелевой группы

(вещественных чисел), а множество

+ — всех положительных

вещественных

подгруппа

чисел — подгруппа

мультипликативной абелевой группы

— чётных чисел) —

5. Множество

— (целых чисел, кратных

, в частности 0

аддитивной абелевой группы .

так как

6. Множество нечётных чисел — не

аддитивная подгруппа

неч+ неч =

8. Множество квадратных

этому множеству (нарушена замкнутость).

(некоммутативную) мультипликативную

≠

Матрицы одного размера

образуют аддитивную абелевую группу.

чет

невырожденных (

) матриц

порядка образуют

10.{ + | ,

= −1}

группу.

9. Множество

целых

комплексных

(гауссовых)

чисел

вида

(то

есть

) — аддитивная абелева группа.

группа.

2 =

{2 | }

— мультипликативная

абелева

Множество степеней двойки:

{1, −1, , −}

группа.

Может быть

— мультипликативная абелева

11. Множество комплексных единиц:

Обозначается как .

охарактеризована как группа корней четвертой степени из

единицы.

Порядок

группы

—

количество её элементов (мощность множества

Теорема.| |

Если в группе

| |

= ∞

разрешимы.

| |

0 ≠ ,

конечной

(

бесконечной

(

), в противном случае группа называется

Для любых

уравнения

= ′

однозначно

является решением данного уравнения.

′

≠ 0

Доказательство.

Рассмотрим уравнение

Существование решения. Легко

проверить,

что

(

— обратный к

)

, 2

1 =

откуда

Умножим

′

Единственность решения.

Пусть

— решения уравнения

. Тогда

равенство

слева

на

и,

воспользовавшись свойством ассоциативности, получим

= 2

Уравнение

рассматривается аналогично.

Пример.	×			Таблица Кэли
				можно задавать таблицей умножения (сложения)
Конечные группы порядка
элемент: = 1; обратный{−1,1}				−1	−1 −1 −1 = 1 =	Таблица 4
размером		. Такую таблицу называют таблицей Кэли группы.
	Множество		— является мультипликативной группой (нейтральный
		элемент			сама :	). Таблица Кэли:

Пример. Множество всех корней -ой степени

из 1 в множестве комплексных чисел

0, 1, 2, … , − 1

2 ,

с обычной операцией умножения,

то есть множество

чисел вида

= 4

.√1 =

Таблица 5

— конечная коммутативная группа. Порядок группы

Составим, например, таблицу Кэли для

Циклическая группа

Теорема. Пересечение любого множества подгрупп данной группы само является

подгруппой этой группы.

них будет,в частности,

группы

. Рассмотрим

Пусть

—

произвольное непустое

подмножество

всевозможные подгруппы

, которые содержат

в качестве подмножества. Одной из

сама группа

(ужебыло сказано о том, что укаждой структуры

есть две несобственные

подструктуры — сама структура и нейтральный элемент). В

обозначается .

силу предыдущей теоремы пересечение всех таких подгрупп будет какой-то

Группа

называется подгруппой,

порождённой множеством

, и

подгруппой

которая

результат

— 1) подгруппа исходной группы

, 2)

подмножества.

порождённая множеством

пересечения всех подгрупп исходной группы

содержащих

в качестве

элементом

(тоесть

— 1) подгруппа

исходной

группы

порождённая

Циклическая группа

состоитизодногоэлемента — ), 2) группа, которая может быть

циклической, если она состоит из

, +

порождена одним

элементом .

группа

)

называется

Мультипликативная

элемента

, то есть

всех целых степеней (всех целых кратных) одного

= { | }

( =

{ |

})

целых степеней (целых кратных)
Теорема. Циклическая группа		, порождённая элементом		, состоит из всех
	элемента (все степени		принадлежат группе		).

Если группа совпадает с одной из своих циклических подгрупп (то есть состоит из степеней одного из своих элементов), то сама эта группа называется циклической, а элемент, из степеней которого состоит циклическая группа, — её образующим.

Теорема. Всякая подгруппа циклической группа сама циклическая.

Всякая циклическая группа абелева (коммутативная), так как степени одного и

того же элемента коммутируют между собой.

элемент — число 1 ( =

{0,1,2,

… , −

1}, ≥ 2

Примеры:

1. Аддитивнаягруппа

—

{ |

}

— циклическая.Еёобразующий

2. Аддитивная группа

всякое число кратно числу 1). Это конечная группа.

циклическая

. Её образующий

элемент — число

(всякое

число кратно числу 1). Также можно выбрать в качестве образующего

число .

−1

3. Мультипликативная группа1

−1

{ | }

Это бесконечная группа.

≠

4. Группа,

= {

элементами которой

}

— циклическая.

степеней числа

являются корни -ой степени из 1 в множестве

√1 =

комплексных чисел с групповой операцией

умножение, является циклической.

Её элементы

= 0, 1, … , − 1

-ого порядка.

Действительно, это конечная группа

= 0,1, … , − 1

Декартово произведение групп

жесамое,

= 1

× 2

× … ×

, элементами

, , … ,

Прямое

(декартово)

произведение

групп

— новая

группа,

обозначаемая

а групповая

= { 1

, 2, … , }

, то = 1, 2, … ,

кортежи)элементовизданныхгрупп.

означает,что

{ 1, 2, … , }

{ 1

1, 2 2

, … , }

» состоит в том, что, если

причём

операция «

{ 1, 2,… ,

}

Это

действительно, группа,

так как роль нейтрального элемента играет кортеж

−1

{ 1

, 2

, … ,

}

−1

где

— нейтральный элемент

-ой

группы, а обратные

элементы

= ×

× … ×

задаются формулой

(очевидно, что

групповой

= {0,1}

— -я степень группы означает

-кратное умножение её самой

на себя.

Пример.

— абелева

группа,

состоящая

из

двух

элементов

… × 2

110101

что

операцией сложения по модулю 2 «

». Поэтому

= 101100

для

любого

элемента

011001

состоит

из последовательной

длины

символов

или

с поэлементным

{0,1}

= 2

× 2

+ = 0

сложением по модулю 2. Например, в

. Заметим еще,

справедливо

равенство

так

что

−

. Умножение подстановок.

противоположный (обратный) элемент для любого элемента равен самому этому

элементу:

Группа подстановок. Симметрическая группа

Нейтральный элемент. Обратная подстановка.

Число элементов группы

, 2 … }

= { 1

Группа подстановок

Пусть

— конечное множество из элементов:

: →

(подстановок)

группа

степени

—

). Каждая биекция

Симметрическая

группа

всех

биекций

(взаимно-

подстановкой

(

себя:

Число

элементов

однозначных

отображений)

множества

симметрической группы:

(число перестановок из

называется

перестановкой)

записывается

(природа

элементов

Вовторойстроке

…

≤

…

, 1 ≤

множества

нас не интересует, значит можно считать, что элементы — числа):

угодно переставлять,( ) =

из первой строки:

записаныномератехэлементов,которымсопоставляютсяэлементы

. Поэтому в написанной матрице столбцы можно как

подстановка останется той же.

из них, а затем второй (композиция

= 2 1

Произведение двух подстановок

так, чтобы её1

( )

— результат проведения сначала первой

вторая

отображений):

Для этого представляют столбцы

первая строка совпадала со второй

строкой

; тогда 1-ая строка

есть2первая строка

, а вторая строка

— есть

строка

. (Это связано с тем, что произведение подстановок, по

= ( )

иначе определяют произведение двух подстановок:

Некоторые математики1 2

существу,

означает композицию отображений, а математики не пришли к общему соглашениюнасчётобозначениякомпозицииотображений.) Соответственно,из-за этого меняется порядок умножения, в итоге результаты разнятся. Поэтому необходимо заранее обозначать композицию так, как будете её использовать.

Пример. В данном примере показывается сама суть умножения подстановок.

Первая строка первой подстановки «взаимно-однозначно отображается на» вторую
1	2	3 4			5	1	2	3 4 5				=	1	2	3 4 5
строку второй подстановки.

4	3	154		2	1	2	1	445		5	3		5	4	13	5	1	2
		2	3					3	4						2	4
		3	5					5	3						3	3
		4	2					2	1						4	1

1	2	3	4	5	1 2 3 4	5 =	1	2	3	4	5 4		3		5	2		1
Пример.		5	2	5→1		1→2	4	3	5	2	=5→2			4	3		1	2
4	3			1	2 23 14 45 5	3					1	5
Очевидно,			что умножение перестановок ассоциативно, но не коммутативно.
			= 5		4 3 1 2							1		2	3		…
Нейтральный элемент — это тождественная подстановка = 1														2	3		…	.

Обратный к

…

это

−1

…

, так как

−1

…

Таким образом, множество подстановок

-го порядка — множество, на котором

введена замкнутая ассоциативная бинарная

операция «умножение», на этом множестве

есть нейтральный элемент, и все элементы этого множества обратимы, следовательно,

множество подстановок образует мультипликативную группу. Эта группа называется
группа, и что порядок этой группы (																																					и обозначается																						!					что это конечная
	Примеры.																																																										!
симметрической группой степени																																																					. Очевидно,
																	1			2										3				число её элементов) равен .																														3		3:
												1		=			1			2										3		= , 2										1		2				3							=				1		2			3
												1		=			1			2										3		= , 2						= 2						3				1 , 3							=			3			1			2
	1. Запишем все												3! = 6 элементов (подстановок) симметрической группы;
	2. Найти																1				2										3		, 5				=			1		2		3				, 6				=				1				2	3
	2. Найти												4и=										:								2		, 5				=			3		2		1				, 6				=								1	3
							2 4										1				3										2									3		2		1												2				1	3
	2	4					2 4									4 2															2		3			= 1						2		3				2						3				1			= 1			2		3 = 5
	2	4					= 1						2				3		1												2		3			= 1						2		3				2						3				1			= 1			2		3 = 5
	4				2					2			3				1			1											3		2					2				3		1						3				2				1					3	2		1	6
	4				2					1			2				3			1											2		3					1				2		3						1				3				2					1	2		3	6
							= 1						3				2		2												3		1			= 1					1	3	2	2					2					1				3			= 2			1		3 =
	3. Найти										2					≠													2												1		2				3
	Как видим																																		3 =					3			1				2
																			−1													3			1		2						1			2				3
							обратную подстановку к																												2		3				= 2					3			и проверить:
	3−1						3					1			2		3	3								=					1				2		3				= 2					3				1			= 2							1				1	2		3
	3−1			7.			3		=			1			2		3								1						2			3							1		2		3							2				3				1				1	2		3
				7.					=		2				3		1				3										1			2 =					2				3		1 1											2				3 = 1					2		3 =
						Цикл. Теорема о представлении подстановки в виде произведения
																																							Цикл
		независимых циклов. Транспозиция. Чётные и нечётные подстановки.
																							Знакопеременная группа
перемещены так,																	( 1)						= 2, ( 2)															= 3, … , ( −1)																											= )1,		где	все
то	же				самое,												( 1)						= 2, ( 2)															= 3, … , ( −1)																	= , ( )										= )1,		где	все
	Цикл				длины											— симметрическая																									группа						степени												,		в	которой					элементы
												( 1) = 2									,									2	( 1)			= 3, … ,									−1			( 1)					=						,				( 1)			= 1
					,			, … ,					что															1 ≤							≤																																(или,	что
					,	2		, … ,																				1 ≤							≤
			1			2												1		,				2				, … ,							)						1			2				3						…
числа																	(			,								, … ,							)					2				3				4						…				1
числа														— разные,																								. Цикл обозначается следующим образом:
																																	1				или
1	, 2, … ,								.																								1		, 2, … ,								называется															орбитой любого из чисел
	Причём набор таких элементов																																										называется															орбитой любого из чисел
	Цикл независим, если у н																										его нет общих чисел. Цикл длины 1																																				— это,				очевидно,
тождественная подстановка																						; в произведениях подстановок их можно не записывать.

Теорема.		Любую	подстановку в			можно записать в виде произведения
независимых		циклов.	Разложение		подстановки в произведение циклов длины
									≥ 2
определено однозначно с точностью до порядка циклов.
Доказательство.
Очевидно, что отношение между числами «принадлежность одной								-орбите» есть
2.	Симметрично, то есть( )( )					.
отношение эквивалентности:							.
3.	Транзитивно, то есть			( , )( )
1.	Рефлексивно, то есть				.
Данное отношение				( , , ) ( )
			разбивает множество на				классы эквивалентности по этому

отношению. Каждый элемент принадлежит одному и только одному классу

эквивалентности.							Поэтому			все		числа											однозначно								разбиваются на
															между собой орбит, а подстановка
непересекающиеся классы эквивалентных 1,2, … ,																							6)	7				= (1 2 3			5 8)
				=								= (1 2		3) 4) (5 8									6)	7				= (1 2 3			5 8)
														(							) (			(		)					)(
представляется как произведение соответствующих циклов. Теорема доказана.
	Транспозиция2 3 1 4								8 6 7 5																							.
	Пример.						1 2 3 4		5 6 7 8										≠													.
чисел между собой, или, что тоже самое(, цикл)																			≠			, сводящаяся к перестановке двух
							— подстановка вида							, где								, сводящаяся к перестановке двух
	Замечание.						(1 2		…								длины 2.								1)(1 )
	Замечание.						(1 2		…	− 1 ) = (1 2)(1 3) … (1 −															1)(1 )
	Любой цикл можно написать в виде произведения транспозиций:
	Пример. (12)(13) =							1	2	3 1			2	3		=				1			2	3			= (123).
					Транспозиции не коммутируют (как и перестановки).																										2 = (132)
				(13)(12) = 1					2	3 1			2	3 =						1			2	3 =					1	3	2 = (132)
	Пример.			(12)(23) =				3	2	1		2	1	3		=				3			1	2			=		3	2	1		(132)	.
	Пример.							2	1	3		3	2	1						2			3	1					3	2.	1			.
	Пример.							2	1	3		1	3	2						3			1	2					3	2.	1
				(23)(12) =				1	2	3		1	2	3		=				1			2	3			=		(123)
				(23)(12) =				1	3	2 2			1	3		=				2			3	1			=		(123)
	Нетрудно показать, что любую подстановку																						можно						представить в					виде
	Все					(12)(13) = (23)(12) = (123)
произведения транспозиций. Такое представление не единственно (например, в
примерах выше																).
		подстановки подразделяются на 2 класса: чётные и нечётные.																																<
																		…					…						…					<
	Есливматрицеподстановкиесть2столбца																	…					…						… ,длякоторых
и	>		или				>	и	<		,	то	такая			пара столбцов													называется				инверсией
и			или					и			,	то	такая			пара столбцов													называется				инверсией

подстановки.

Подстановка называется чётной или нечётной в зависимости от того, чётно или нечётно число инверсий в ней.

Очевидно, что любая транспозиция является нечётной подстановкой:

1	2	,	или
2	1		1	> 2	одна инверсия нечётная
			1	< 2	одна инверсия нечётная

Теорема. Если подстановка чётная, то при любом способе разложения её в произведение транспозиций число множителей (то есть транспозиций) чётно, а если нечётная — то число этих транспозиций нечётно.

Следствие. Так как при перемножении чётных подстановок, очевидно, снова

получается чётная подстановка, то множество всех чётных подстановок является
состоит из				3!						подстановок и т. д.																2!		2															3
подгруппой симметрической группы																									и называется знакопеременной группой и
обозначается									. Причём порядок															равен			.		состоит из одной подстановки: .
обозначается									. Причём порядок												3		,		2		.		состоит из одной подстановки: .
				Подгруппа									3			1	2				3		,	1	2		3 ,		13	2	3
		Пример.		2		= 3									симметрической группы															состоит из 3-х подстановок:

																1	2				3			2	3		1		3	1	2
		Произведение								двух						0инверсий								2инверсии					2инверсии
														нечётных подстановок, очевидно, есть чётная подстановка,
поэтому нечётные подстановки не образуют группу.
	Порядок.				подстановки — это наименьшее целое положительное число такое, что

		=
		=		Докажем, что порядок подстановки																															равен 5:
		Пример.															5		=																		3	=
																	5																				3

																									2	=
		=																								=
							=															=
		Теорема.					=															=
					Порядок подстановки равен НОК длин всех её независимых циклов.
		Также нетрудно показать, что порядок цикла равен длине цикла.
		Пример. Определить, является ли подстановка чётной или нечётной и разложить её в
произведение транспозиций:																								1 2 3 4				5 6 7 8
произведение транспозиций:
4	,		,				,					. Поэтому						= 7					(подстановка нечётная).										1 − 3 1 − 4 2 − 3 2 −
4		3 − 4 6 − 8 7 − 8																= 7						1 2 3 4				5 6 7 8				1 3		2 4		,	5	6		7	8
		Сосчитаем число инверсий .																	Инверсии— это пары столбцов																	,			,		,
		Сосчитаем число инверсий .																		=			3 4 2 1					5 7 8 6														=
																														=				4 1						8	6	=
		Разложим			6			её			8	на				циклы:								3 4 2 1				5 7 8 6				3 2		4 1			5	7		8	6
1 3			2 4		6			7			8		= (1 3 2 4)(6 7											8) = (1 3)(1 2)(1 4)(6 7)(6 8)
		Как	4 1					8			6		= (1 3 2 4)(6 7											8) = (1 3)(1 2)(1 4)(6 7)(6 8)
3 2			4 1		7			8			6

видим, число транспозиций в произведении равно 5, то есть нечётно. Обратная операция:

																														(1 3)(1 2)(1 4)(6 7)(6 8) =
							= 1 3 2 4 1 3 2 4 1 2 3 4 6 7 8 6 7 8 =
								3				1			2					4				2						3				1			4		4			2					3			1				7				6				8		8			7					6
							= 1 3 2 4 3 1 2 4 1 2 3 4 6 7 8 7 6 8 =
								3				1			2					4				3						2				1			4		4			2					3			1				7				6				8		7			8					6
				= 1 3 2 4 3 2 1 4 6 7 8																																											= 1 3 2 4 5 6 7 8 =
							3	2				1			4						3				2						4			1			7			8		6							3				2				4				1			5			7				8		6
			5																															= 1 2 3 4 5 6 7 8
		5																																		потому, что она равна																									. Другие подстановки (не
						добавлена в середину только																															3 4 2 1						5 7 8 6
равные ) в любое место добавлять нельзя, так как коммутативности нет.
		Порядок подстановки: НОК																																4				, 1 ,				3				= 12. То есть 812																			= . Проверим это.
							1 2 3 4						5 6 7 8								12											(1 32 4)						(5)			(6 78)									1 2 3 4										5 6 7 8						3
							1 2 3 4						5 6 7 8								12			=						1 2 3 4								5 6 7 8						6			=			1 2 3 4										5 6 7 8						3
							3 4 2 1						5 7 8 6											=						2 1 4 3																	=			1 2 3 4										5 7 8 6
							3 4 2 1						5 7 8 6																	2 1 4 3								5 8 6 7												1 2 3 4										5 7 8 6							5 6 7 8
														=					1 2 3 4												5 6 7 8							1 2 3 4									5 6 7 8								=					1 2 3 4							5 6 7 8						=
														=						Гомоморфизм.																											5 7 8 6								=					1 2 3 4							5 6 7 8						=
					′														1 2 3 4												5 8 6 7							1 2 3 4									5 7 8 6													1 2 3 4							5 6 7 8
					′
→																																					Изоморфизм. Теорема Кэли																														′ (с операцией
		Пусть задано отображение																														группы							(с операцией																	) в группу											′ (с операцией								):
		,					. Оно											, то									гомоморфизмом,																		если						оно					1								.2							( 1) = 1′
	′		( 2) = 2													′						( 1							2) = ( 1) ( 2)																					= 1							2							′
	′										′					′																																						′						′			,	′						,
переводит в другую групповую операцию, то есть если																																																															,							,
													,	такие что																									и													,		где					: →											. Запись:
		Изоморфизм												— взаимно однозначный (биективный) гомоморфизм.																																																							Две группы
или						: ′′		.→																		( )									=					( )									=													,			′									~ ′
и			′ изоморфны,														если существуют гомоморфизм групп																																																		′	и
																																													′																										гомоморфизм
групп																												,									, : →
		1. Единица переходит в																										,									, : →										):
		Свойства изоморфизма																									(																				):												.
				Тогда:					( )						=												единицу.																																.
										′	( )								= ( )										( )							= (						′) = ′.( ) =																′
				Имеем:																′.																	( )							,= а
				Следовательно,															( )								—				′.						( )							,= а					так					как							в	группе							′			единица			′
				единственна, то															( )												′.										′																												′						′
				Аналогично устанавливаем, что
				Обратный															( )						=							единица								в
		2.		Тогда:					( )						=																																				.
								(					−1		)				( )						= (								−1				)		=			( )					=			′
				Имеем:																′.			−1												( )						(				−1			)	=			′																	′.
				Но в группе ′																	(		−1			)								′	( )						(							)	=				′−1								( ) =								′.
				Но в группе ′																	(					)								′																			′−1								( ) =
				Аналогично доказывается, что																																																	.
				Следовательно,																								является обратным для элемента
																		для элемента																		обратный элемент																						единственный.

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Ответы на экзаменационные вопросы