baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev
.pdf
Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°»
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ГУМАНИТАРИЕВ
Учебник
Под общей редакцией доктора экономических наук, профессора К. В. Балдина
3-е издание
Москва
2011
УДК 517 ББК 22.16
М34
Авторы:
К. В. Балдин — доктор экономических наук, профессор — введение, гл. 1, 2, 10;
В.Н. Башлыков — доцент — гл. 12, 13, приложение;
В.В. Мартынов — кандидат технических наук, доцент —
гл. 8, 9, 11; А. В. Рукосуев — доцент — гл. 3, 4, 5, 6, 7.
Рецензенты:
В.А. Лукинов — доктор экономических наук, профессор;
В.А. Зотов — доктор физико-математических наук, профессор
М34 Математика для гуманитариев: Учебник / Под общ. ред. д. э. н., проф., К. В. Балдина. — 3-е изд. — М.: Издатель- ско-торговая корпорация «Дашков и К°», 2011. — 512 с.
ISBN 978-5-394-01115-3
Настоящий учебник написан на базе лекционных курсов, которые авторы читали в ряде вузов столицы. В нем рассмотрены практически все аспекты дисциплины “Математика” Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования и программы по специальностям “Психология”, “Лингвистика и межкультурные коммуникации”, “Юриспруденция”, “Философия” и “Менеджмент”.
Учебник содержит два основных раздела “Основы дискретной и высшей математики” и “Теория вероятностей и математическая статистика”. В учебник включены прикладные наработки авторов по математике, теории вероятностей и математической статистике, примеры использования классических методов и заданий для самостоятельной работы обучаемых.
Для студентов гуманитарных специальностей, аспирантов, преподавателей, а также научных сотрудников, предпринимателей, менеджеров и руководителей фирм.
Учебник подготовлен при государственной поддержке ведущих научных школ. Грант № НШ 1907.2006.10.
УДК 517 ББК 22.16
ISBN 978-5-394-01115-3 |
© Коллектив авторов, 2007 |
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Введение |
..................................................................................................................................... |
9 |
|
Раздел I |
|
ОСНОВЫ ДИСКРЕТНОЙ И ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ |
|
|
1. Основы .............................................................дискретной математики |
14 |
|
1.1. .............................................................................. |
Понятие множества |
14 |
1.2. ......................................... |
Основные понятия комбинаторики |
27 |
1.3. ....................................................................... |
Основы теории графов |
31 |
Вопросы .........................................................................для самопроверки |
48 |
|
2. Элементы .....................................линейной и векторной алгебры |
49 |
|
2.1. ...............................Матрицы, определители и их свойства |
49 |
|
2.2. ......... |
Системы линейных алгебраических уравнений |
65 |
2.3.Собственные числа и собственные
|
векторы матриц........................................................................................ |
73 |
2.4. |
Некоторые сведения о векторах................................................ |
80 |
Вопросы для самопроверки......................................................................... |
85 |
|
3. Функции и пределы............................................................................................ |
86 |
|
3.1. |
Некоторые сведения о функциях............................................. |
86 |
3.2.Предел последовательности. Предел функции.
Вычисление пределов......................................................................... |
89 |
3.3. Комплексные числа ........................................................................... |
102 |
Вопросы для самопроверки...................................................................... |
106 |
4. Основы дифференциального исчисления.................................... |
107 |
4.1.Производная первого порядка. Дифференциал.
Производная второго порядка.................................................. |
107 |
4.2. Некоторые сведения о функциях многих |
|
переменных. Понятие о частной производной........... |
115 |
4.3. Некоторые приложения |
|
дифференциального исчисления........................................... |
124 |
3
|
4. .1. |
Формула Тейлора............................................................... |
124 |
|
4. .2. |
Правило Лопиталя............................................................. |
126 |
|
4. . . Асимптоты................................................................................ |
1 0 |
|
|
4. .4. Исследование функций с помощью |
|
|
|
|
производных первого и второго порядков |
|
|
|
и построение их графиков........................................... |
1 4 |
Вопросы для самопроверки...................................................................... |
146 |
||
5. Элементы интегрального исчисления............................................. |
147 |
||
5.1. Первообразная и неопределенный интеграл.............. |
147 |
||
5.2. |
Определенный интеграл................................................................ |
161 |
|
5. . |
Некоторые сведения |
|
|
|
о несобственных интегралах...................................................... |
170 |
|
5.4. |
Некоторые приложения |
|
|
|
определенного интеграла.............................................................. |
175 |
|
|
5.4.1. Вычисление площадей плоских фигур ........... |
175 |
|
|
5.4.2. Нахождение длины дуги кривой........................... |
181 |
|
|
5.4. . |
Объем тела вращения..................................................... |
184 |
5.5. |
Приближенное вычисление |
|
|
|
определенных интегралов........................................................... |
187 |
|
5.6. Понятие о двойном интеграле................................................... |
194 |
||
Вопросы для самопроверки...................................................................... |
204 |
||
6.Некоторые сведения
о дифференциальных уравнениях..................................................... |
205 |
|
6.1. Основные понятия и определения........................................ |
205 |
|
6.2. Дифференциальные уравнения 1-гопорядка............ |
206 |
|
6.2.1. |
Общее понятие...................................................................... |
206 |
6.2.2. |
Дифференциальные уравнения |
|
|
первого порядка с разделяющимися |
|
|
переменными.......................................................................... |
207 |
6.2. . |
Однородные дифференциальные |
|
|
уравнения.................................................................................. |
211 |
6.2.4. |
Линейные дифференциальные уравнения |
|
|
первого порядка ................................................................... |
214 |
6. . Дифференциальные уравнения 2-го порядка........... |
217 |
|
6. .1. |
Общее понятие...................................................................... |
217 |
6. .2. |
Линейные однородные дифференциальные |
|
|
уравнения второго порядка |
|
|
с постоянными коэффициентами......................... |
220 |
4
|
|
|
6. . . Линейные дифференциальные уравнения |
|
|
|
|
|
|
второго порядка с постоянными |
|
|
|
|
|
коэффициентами и с правой частью.................. |
224 |
|
6.4. |
Понятие о системах обыкновенных |
|
||
|
|
|
дифференциальных уравнений.............................................. |
2 1 |
|
|
Вопросы для самопроверки...................................................................... |
2 8 |
|||
7. |
Ряды |
.............................................................................................................................. |
|
240 |
|
|
7.1. |
|
Числовые ряды...................................................................................... |
240 |
|
|
7.2. |
|
Функциональные ряды................................................................... |
244 |
|
|
7. . |
|
Степенные ряды.................................................................................... |
246 |
|
|
Вопросы для самопроверки...................................................................... |
251 |
|||
|
Литература к разделу I................................................................................ |
251 |
|||
|
|
|
|
Раздел II |
|
|
|
|
|
теОРия веРОятнОстей |
|
|
|
|
и МАтеМАтичесКАя стАтистиКА |
|
|
8. |
Случайные события......................................................................................... |
254 |
|||
|
8.1. |
|
Предмет теории вероятностей................................................. |
254 |
|
|
8.2. Основные понятия и определения........................................ |
259 |
|||
|
8. . |
Частота и вероятность. Способы нахождения |
|
||
|
|
|
вероятностей случайных событий........................................ |
264 |
|
|
|
|
8. .1. |
Статистическое определение |
|
|
|
|
|
вероятностей........................................................................... |
264 |
|
|
|
8. .2. |
Аксиоматическое построение теории |
|
|
|
|
|
вероятностей........................................................................... |
266 |
|
|
|
8. . . |
Классический способ |
|
|
|
|
|
определения вероятности............................................ |
267 |
8.4.Понятие условной вероятности. Стохастическая
зависимость случайных событий.......................................... |
269 |
8.5. Правила действий с вероятностями ................................... |
271 |
8.6.Повторение независимых испытаний.
|
Схема Бернулли ................................................................................... |
274 |
8.7. |
Формула полной вероятности.................................................. |
277 |
8.8. |
Формула Байеса................................................................................... |
278 |
Вопросы для самопроверки...................................................................... |
285 |
|
5
9. Случайные величины..................................................................................... |
286 |
9.1. Случайные величины и их классификация................. |
286 |
9.2.Закон распределения случайной величины
и формы его представления....................................................... |
287 |
|
9.2.1. |
Понятие распределения |
|
|
случайной величины........................................................ |
287 |
9.2.2. |
Функция вероятности..................................................... |
288 |
9.2. . |
Функция распределения.............................................. |
289 |
9.2.4. |
Плотность распределения........................................... |
295 |
9. . Числовые характеристики скалярных |
|
|
случайных величин............................................................................ |
297 |
|
9. .1. |
Характеристики положения..................................... |
298 |
9. .2. |
Характеристики рассеивания................................. |
02 |
9. . . |
Моменты случайной величины............................... |
06 |
9.4.Основные теоретические распределения
скалярных случайных величин.............................................. |
09 |
9.5. Распределение случайного вектора.................................... |
2 |
9.6.Частные и условные распределения компонент
случайного вектора............................................................................ |
28 |
|
9.6.1. |
Частные распределения............................................... |
28 |
9.6.2. |
Условные распределения. Стохастическая |
|
|
зависимость случайных величин.......................... |
1 |
9.7.Числовые характеристики векторных
случайных величин............................................................................ |
6 |
9.8.Нормальное распределение двумерного
|
случайного вектора............................................................................ |
40 |
Вопросы для самопроверки...................................................................... |
44 |
|
10. Функции случайных аргументов......................................................... |
46 |
|
10.1. Общая характеристика задач исследования |
|
|
|
функций случайных аргументов........................................... |
46 |
10.2. Теоремы о числовых характеристиках |
|
|
|
случайных величин............................................................................ |
47 |
10. . |
Определение числовых характеристик |
|
|
функций случайных аргументов........................................... |
52 |
10.4. |
Распределение однозначного |
|
|
преобразования случайных величин................................. |
58 |
6
|
10.5. |
Распределение неоднозначного |
|
|
|
преобразования случайных величин................................. |
62 |
|
10.6. |
Распределение функции двух |
|
|
|
случайных величин............................................................................ |
64 |
|
10.7. Композиция распределений ...................................................... |
66 |
|
|
|
10.7.1. Композиция нормального |
|
|
|
и равномерного распределений.............................. |
66 |
|
|
10.7.2. Композиция нормальных распределений..... |
69 |
|
Вопросы для самопроверки...................................................................... |
72 |
|
11. |
Статистические методы оценивания |
|
|
|
характеристик продукции......................................................................... |
74 |
|
|
11.1. Общая характеристика статистических методов |
|
|
|
|
оценивания характеристик продукции и |
|
|
|
результатов ее применения....................................................... |
74 |
|
11.2. Общая схема эксперимента........................................................ |
77 |
|
|
11. . Сущность выборочного метода................................................ |
79 |
|
|
11.4. Понятие о законе больших чисел |
|
|
|
|
и центральной предельной теореме.................................... |
85 |
|
Вопросы для самопроверки...................................................................... |
90 |
|
12. |
Методы статистической обработки |
|
|
|
результатов испытаний............................................................................... |
91 |
|
|
12.1. Постановка задачи оценивания вероятностных |
|
|
|
|
характеристик случайных величин.................................... |
91 |
|
12.2. Основные требования к оценкам............................................ |
92 |
|
|
12. . |
Оценивание законов распределения |
|
|
|
случайных величин............................................................................ |
96 |
|
12.4. |
Точечное оценивание числовых |
|
|
|
характеристик случайных величин.................................... |
40 |
|
|
12.4.1. Оценивание вероятности наступления |
|
|
|
случайного события.......................................................... |
40 |
|
|
12.4.2. Оценивание математического ожидания |
|
|
|
случайной величины........................................................ |
405 |
|
|
12.4. . Оценивание дисперсии и стандартного |
|
|
|
отклонения случайной величины......................... |
410 |
|
|
12.4.4. Определение числовых характеристик |
|
|
|
случайных величин при большом |
|
|
|
объеме выборки.................................................................... |
411 |
7
12.5. |
Интервальное оценивание числовых |
|
|
характеристик случайных величин.................................... |
412 |
|
12.5.1. Понятие доверительной вероятности |
|
|
и доверительного интервала..................................... |
412 |
|
12.5.2. Оценивание вероятности наступления |
|
|
случайного события.......................................................... |
416 |
|
12.5. . Оценивание математического ожидания....... |
420 |
|
12.5.4. Оценивание стандартного отклонения ............ |
426 |
Вопросы для самопроверки...................................................................... |
4 2 |
|
1 . Статистическая проверка гипотез..................................................... |
4 4 |
|
1 .1. Сущность проверки статистических гипотез............. |
4 4 |
|
1 .2. |
Методы проверки гипотез |
|
|
о законах распределения.............................................................. |
442 |
|
1 .2.1. Постановка задачи............................................................. |
442 |
|
1 .2.2. Проверка гипотез |
|
|
о законе распределения................................................ |
445 |
1 . . Методы проверки гипотез о параметрах |
|
|
|
законов распределения.................................................................. |
454 |
|
1 . .1. Проверка гипотез о равенстве |
|
|
математических ожиданий........................................ |
454 |
|
1 . .2. Проверка гипотез о равенстве дисперсий..... |
460 |
1 .4. |
Проверка гипотез методом |
|
|
последовательного анализа........................................................ |
466 |
|
1 .4.1. Сущность метода последовательного |
|
|
анализа......................................................................................... |
466 |
|
1 .4.2. Проверка гипотезы о вероятности |
|
|
наступления события...................................................... |
468 |
|
1 .4. . Проверка гипотезы о математическом |
|
|
ожидании.................................................................................... |
471 |
Вопросы для самопроверки...................................................................... |
474 |
|
литература к разделу II......................................................................................... |
476 |
|
Приложение...................................................................................................................... |
477 |
|
8
введение
Название “математика” происходит от греческого слова “матема” ( ) — знание, наука. Математика относится к числу наиболее старых наук. В Вавилоне и Египте во втором тысячелетии до нашей эры были известны многие сведения из арифметики и геометрии.
Академик А. Н. Колмогоров выделил четыре основных периода развития математики:
1.Период зарождения математики, который продолжался до VI–V вв. до н. э. Были известны разрозненные факты и формулы, которые использовались для решения сугубо практических задач: составление календарей, обмер земельных участков и т. д.
2.Период элементарной математики с VI–V в. до н. э. до XVI в. н. э. Были заложены начала дедуктивного, аксиоматического методов. Развитие дедуктивной теории связано с именем Аристотеля, а первое систематизированное изложение геометрии было сделано Евклидом. Начала современной алгебры было положены в трудах итальянского ученого эпохи Возрождения Леонардо Пизанского (Фибоначчи).
. Период создания математики переменных величин включает период с XVII в. по середину XIX в., который характеризуется созданием аналитической геометрии Р. Декартом, дифференциального и интегрального исчислений И. Ньютона и Г. Лейбница, а также современной алгебраической символики француза Виета.
4.Современный период развития математики с середины XIX в. по наше время. Была создана теория действительных чисел, которая позволила строго выстроить математический анализ. В конце XIX столетия в работах Г. Кантора появилась теория множеств. В XIX и XX вв. были заложены ос-
9
новы математической логики. В XX в. под влиянием успехов абстрактной алгебры появилось понимание математической структуры. Построению и исследованию математических структур были посвящены работы группы французских математиков, которые писали под псевдонимом Н. Бурбаки. Бурно развивались в XX в. теория вероятностей, математическая статистика, теория случайных функций. Здесь велик вклад российских и советских математиков П. Л. Чебышева, А. А. Маркова, А. Н. Колмогорова, Е. С. Вентцель.
В середине XIX в. Ф. Энгельс в своей работе “Анти — Дюринг” дал определение предмета математики. По Ф.Энгельсу, “чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира”. [ 0]. Это определение отражает развитие математики от ее зарождения до середины XIX в.
Второе определение предмета математики было дано Н. Бурбаки в первой половине XX в. Оно было обусловлено современным периодом развития математики и новым подходом к аксиоматическому методу.
По Н. Бурбаки, математика — “скопление математических структур, не имеющих к действительности никакого отноше-
ния” [8].
Н. Бурбаки выделяет три основных типа структур: алгебраические, порядка, топологические. Многие ученые считали, что определение Ф. Энгельса устарело. Но подход Н. Бурбаки встретил и негативное отношение, так как они не выяснили отношения рассматриваемых ими структур к действительному миру. Определение Ф. Энгельса не надо отбрасывать, его надо дополнить. Современное определение можно сформули-
ровать, например, так [18]: математика — наука, которая исследует пространственные формы, количественные отношения, аксиоматические структуры и вопросы доказательства путем построения абстрактных моделей действительного мира.
Математика проникла практически во все сферы человеческой деятельности. Это объясняется, во-первых, тем, что
10