Задание 5

Решить графически неравенство 2х²-2ху+2у²+6х-6у-60.

Для того чтобы решить графически неравенство необходимо построить график функции, заданной в неравенстве, и определить область, которая соответствует неравенству.

Приведем уравнение кривой, заданной в неравенстве, к каноническому виду, а затем построим ее.

1. Определим угол поворота осей координат. Для этого используются формулы:

где А и С коэффициенты при х² и у² соответственно, 2В – коэффициент при ху.

В нашем случае А=2; 2В=-2, С=2, тогда Отсюда , следовательно, ).

2. Используя формулы преобразования координат, выразим старые переменные через новые.

x=x'cos-y'sin=x'cos45-y'sin45= (x'-y');

x=x'sin+y'cos- =x'sin45+y'co 45= (x'+y').

Полученные выражения для х и у подставим в уравнение кривой.

2( (x'-y'))²-2 (x'-y') (x'+y')+2( (x'-y'))²+6 (x'-y')- 6 (x'+y')-6=0.

После преобразования получаем x'²+3y'²-6 y'-6=0.

3. Выполним параллельный перенос системы координат. Для этого выделим полный квадрат, в данном случае, по переменной у, чтобы определить новый центр координат.

x'²+3(y'²-2 y'+ ²)- 3 ² -6=0,

x'²+3(y'- ) ²=12.

Сделаем замену переменных:

х"=x'

y"=y'- . Следовательно, О'(0; ) – новый центр координат.

Замечание 1

После подстановки выражений для х и у в уравнение кривой могут получиться уравнения вида:

1. ax'²+bx'+cy'²+dy'+f=0. В этом случае полные квадраты следует выделять по переменным x' и y'.

2. ax'²+dy'+f=0 или cy'²+bx'+f=0. В этом случае уравнения следует записывать в виде:

ax'²+d(y'+ )=0 или су'²+b(x'+ )=0 и сделать замену переменных следующим образом:

x"=x' или x"=x'+

y"=y'+ y"=y'

3. ax'²+bx'+dy'+f=0 или cy'²+dy'+bx'+ f=0. В этом случае сначала необходимо выделить полные квадраты (в первом уравнении по переменной х', во втором – по у'), потом линейную часть уравнения представить так, как описано в пункте 2 этого замечания, а затем ввести замену переменных.

Таким образом, получим:

x"²+3y"²=12 или – уравнение эллипса.

1. Построим систему координат Оху (рис.2).

2. Построим систему координат Ох'y'. Для этого повернем оси на угол =45 против часовой стрелки.

3. В системе координат Ох'y' отметим точку О'(0; ).

4. Построим систему координат О'x"y". Для этого через точку О' параллельно осям х' и y' проведем оси х" и y".

5. В системе координат О'x"y" построим эллипс (рис.1).

6. Определяем область решения неравенства. Построенный эллипс разбил плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю. В системе координат Оху выберем произвольную точку, не лежащую на кривой, например, т.О(0;0) и подставим ее координаты в исходное равенство. 20²-200+20²+60-60-60, -60 – верно.

Значит, множеством решений неравенства будет область, которой принадлежит выбранная точка О, т.е. внутренняя часть эллипса.

Замечание 2

Если бы после подстановки выбранной точки в исходное неравенство получилось бы неверное числовое неравенство, то множеством решений неравенства являлась бы область, которой выбранная точка не принадлежит.