Задание 11

Рассмотрим пример.

Исследовать функцию и построить ее график.

Решение:

1. Найдем область определения функции : .

2. Исследуем функцию на четность, нечетность, периодичность.

Так как и , то функция не является ни четной, ни нечетной.

Заданная функция непериодическая.

2. Исследуем функцию на непрерывность.

Заданная функция является непрерывной на области определения. Точка является точкой разрыва.

Найдем односторонние пределы функции в этой точке:

и

Следовательно, – точка разрыва II рода.

2. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.

а) с осью (х=0): , то – точка пересечения с осью ;

б) с осью Ох (у=0): . Следовательно, (0,9; 0) и (-7,9; 0) – точки пересечения с осью Ох.

5) Исследуем функцию на экстремум и промежутки возрастания и убывания.

Для этого найдем производную первого порядка:

Найдем критические точки I рода:

1) : откуда , ;

2) не существует в точке , но эта точка не принадлежит области определения функции.

Значит, , – точки возможного экстремума. Они разбивают числовую прямую на четыре промежутка. На каждом из них найдем знаки производной :

Таким образом, – точка максимума, тогда ; – точка минимума, тогда .

Функция возрастает при , так как на этом промежутке . Функция убывает при , так как на этом промежутке .

6) Исследуем график функции на выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

Для этого найдем производную второго порядка:

Найдем критические точки II рода:

1) : таких нет, так как ни при каком х;

2) не существует в точке , но эта точка не принадлежит области определения функции.

Значит, критических точек II рода нет, и, следовательно, нет точек перегиба.

Определим знаки второй производной:

При график функции является выпуклым, так как на этом промежутке ; при график функции является вогнутым, так как на этом промежутке .

7) Исследуем график функции на наличие асимптот.

а) Найдем вертикальные асимптоты.

Так как – точка разрыва II рода, то – уравнение вертикальной асимптоты.

б) Найдем уравнения горизонтальных асимптот в виде у=b.

Аналогично

Значит, горизонтальных асимптот график функции не имеет.

в) Найдем уравнения наклонных асимптот графика функции в виде и , где ; ; ;

.

Аналогично

Следовательно, уравнение наклонной асимптоты имеет вид .

8. По результатам исследования построим график заданной

функции.

Примерные варианты контрольных работ Контрольная работа №1

1. Решить систему уравнений .

2. Даны координаты вершин пирамиды АВСD.

А(2;2;2) В(4;3;3) С(4;5;4) D(5;5;6.)

а) построить пирамиду АВСD;

б) найти ее объем V_ABCD ;

в) найти площадь ABC S_ABC ;

г) найти cos(AB^AC) ;

д) найти пр_ADAC.

3. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .

Ответы: 1. х₁=3, х₂=1, х₃=2.

2. б) ; в) ; г) ; д) .

3. , _.