Задание 7

Для нахождения канонических уравнений прямых А₁А₂ и А₁А₄ могут быть использованы формулы:

- уравнение прямой по двум точкам (х₁,y_1, z₁) и (х₂,y_2,z₂);

- каноническое уравнение прямой, где

(х₀,y_0, z₀) – координаты точки, принадлежащей прямой, {m,n,p} – координаты направляющего вектора прямой.

Для нахождения угла между прямыми следует воспользоваться формулой:

, где – направляющие векторы прямых.

Для составления уравнения плоскости можно пользоваться формулами:

, где , , - координаты точек, принадлежащих плоскости, или А( )+В( )+С( )=0, где - координаты точки, принадлежащей плоскости, {A,B,C} – координаты вектора нормали для плоскости.

Угол между прямой и плоскостью находится по формуле:

,

где – направляющий вектор прямой, {A,B,C} – вектор нормали к плоскости.

Для составления уравнения высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃ следует воспользоваться условием перпендикулярности прямой и плоскости: || и каноническим уравнением прямой.

Для нахождения расстояния от точки А₄ до грани А₁А₂А₃ следует воспользоваться формулой:

где Ах+Ву+Сz+D=0 – уравнение плоскости; - координаты точки.

Задание 8.

Рассмотрим пример.

Вычислить пределы функций.

а) ; ; ;

б) ; в) .

Решение.

а) .

.

Раскроем неопределенность . Так как и , то

.

.

Для раскрытия неопределенности разделим числитель и знаменатель на старшую степень :

, так как , , при .

б) .

Для раскрытия неопределенности воспользуемся формулой . Перепишем формулу в более удобном для использования виде: .

В нашем случае получим .

, так как  первый замечательный предел (в нашем случае ).

в) .

Сделаем замену , тогда , . Так как , то .

Тогда

, так как – второй замечательный предел.

Замечание. В данном задании при раскрытии неопределенностей вида и можно воспользоваться правилом Лопиталя.

Задание 9

Рассмотрим пример.

Построить функцию и исследовать характер точек разрыва.

Решение. Сначала функцию заданную параметрически запишем в виде у=f(х): или , при -5<х 1.

Таким образом, имеем .

В нашем случае функция непрерывна на интервалах (-;-5), (-5;1) и (1;+), разрывы возможны в точках х=-5 и х=1. Исследуем каждую их них.

Для того чтобы функция у=f(x) была непрерывна в точке х=-5, должно выполняться равенство .

Вычислим , и f(5).

f(-5)=

Функция f(x) будет непрерывной в точке х=-5, т.к. 10=10=10.

Аналогично для точки х=1 вычислим , и f(1).

f(1)=

Таким образом, получаем, что условие непрерывности функции f(x) в точке х=1 не выполняется, т.к. 2+2. Следовательно, при х=1 функция имеет разрыв второго рода.

Построим график функции (рис. 4).

Задание 10.

Рассмотрим пример.

Подобрать , чтобы функция была непрерывной. Доказать непрерывность функции при найденном  и разрывность при каком-либо другом ₁. Построить графики функций для обоих случаев.

Решение. Для того чтобы функция у=f(x) была непрерывна в точке х=а, должно выполняться равенство

.

В нашем случае функция непрерывна на интервалах (-;1) и (1;+), разрыв возможен в точке х=1.

Вычислим , и f(1).

.

.

f(1)=|x²-2x-3|_x=1=4.

Функция f(x) будет непрерывной в точке х=1, если 4==4, т.е. при =4.

Пусть ₁=1, тогда , f(1)=4. Таким образом, получаем, что условие непрерывности функции f(x) в точке х=1 не выполняется, т.к. 414. Следовательно, при ₁=1 функция имеет разрыв.

Построим графики функций.

при =4 при ₁=1

у

у

5

5

4

3

3

0

1

х

0

1

х

Рис. 5

Рис. 6