15.Момент инерции. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Момент инерции. Теорема Штейнера.

Моментом инерции тела (системы) относительно оси вращения Z называется физическая величина, равная сумме моментов инерции всех материальных точек системы, взятых относительно этой же оси, и определяемая суммой произведений масс всех материальных точек тела (системы) на квадраты их расстояний до данной оси:

Момент инерции твердого тела зависит от того, как распределена масса тела относительно интересующей нас оси, и является величиной аддитивной.

Главный момент инерции тела – это момент инерции относительно оси

вращения, проходящей через центр масс тела.

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера:

(расчет момента инерции тела. Т.Штейнера)

Дискр.и непрер.рапсредел.масс.

1)тонкий стерж.φ,масса m равном.распред.

Момент инерц.аддитивен-равен сумме мом.частей тела.

2) тонк.круг.диск R, m относ оси через центр.

 – пов.пл.мас.

Колц.слой – геом.место точка,нах.на кот.площ.dS имеют один и тот же момент инерц.относ.оси y.

Т.Штейнера:   о-центр масс; r-расст.

Уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Рассмотрим вначале материальную точку А массой m, движущуюся по окружности радиусом г (рис. 1.16). Пусть на нее действует постоянная сила F, направленная по касательной к окружности. Согласно второму закону Ньютона, эта сила вызывает тангенциальное ускорение  илиF = maτ.

Используя соотношение aτ = βr , получаем F = m βr.

Умножим обе части написанного выше равенства на r.

Fr = m βr 2. (3.13)

Левая часть выражения (3.13) является моментом силы: М= Fr. Правая часть представляет собой произведение углового ускорения β на момент инерции материальной точки А: J= m r 2 .

Угловое ускорение точки при ее вращении вокруг неподвижной оси пропорционально вращающему моменту и обратно пропорционально моменту инерции (основное уравнение динамики вращательного движения материальной точки):

М = β J или  (3.14)

При постоянном моменте вращающей силы угловое ускорение будет величиной постоянной и его можно выразить через разность угловых скоростей:

(3.15)

Тогда основное уравнение динамики вращательного движения можно записать в виде

или  (3.16)

[ —момент импульса (или момент количества движения), МΔt — импульс момента сил (или импульс вращающего момента)].

Основное уравнение динамики вращательного движения можно записать в виде

(3.17)

16.Момент импульса и закон его сохранения

Закон сохранения момента импульса

Рассмотрим частый случай вращательного движения, когда суммарный момент внешних сил равен нулю. При вращательном движении тела каждая его частица движется с линейной скоростью υ = ωr, [r, — радиус окружности, которую описыва­ет частица массой m, ω — угловая скорость, одинаковая для всех точек тела].

Момент импульса вращающегося тела равен сумме моментов

импульсов отдельных его частиц:

(3.18)

Изменение момента импульса равно импульсу момента сил:

dL=d(Jω)=Jdω=Mdt (3.19)

Если суммарный момент всех внешних сил, действующих на систему тела относительно произвольной неподвижной оси, равен нулю, т.е. М=0, то dL и векторная сумма моментов импульсов тел системы не изменяется с течением времени.

Сумма моментов импульсов всех тел изолированной системы сохраняется неизменной (закон сохранения момента импульса):

d(Jω)=0 Jω=const (3.20)

Согласно закону сохранения момента импульса можно записать

J1ω1= J2ω2 (3.21)

где J1 и ω1 - момент инерции и угловая скорость в начальный момент времени, а и J2 и ω2 – в момент времени t.

Из закона сохранения момента импульса следует, что при М=0 в процессе вращения системы вокруг оси любое изменение расстояния от тел до оси вращения должно сопровождаться изменением скорости их обращения вокруг этой оси. С увеличением расстояния скорость вращения уменьшается, с уменьшением – возрастает. Например, гимнаст, совершающий сальто, чтобы успеть сделать в воздухе несколько оборотов, во время прыжка свёртывается клубком. Балерина или фигуристка, кружась в пируэте, разводит руки если хочет замедлить вращение, и, наоборот, прижимает их к телу, когда старается вращаться как можно быстрее.

Момент импульса

При сравнении законов поступательного и вращательного движений видна аналогия между ними. Во вращательном движении аналогом силы становится ее момент, аналог массы - момент инерции. Какая же величина будет аналогом импульса тела? Это момент импульса тела относительно оси.  Моментом импульса (количества движения) материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением:     где r - радиус-вектор, проведенный из точки О в точку A, p=mv - импульс материальной точки (рис. 1); L - псевдовектор, направление которого совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к р.

Рис.1

Модуль вектора момента импульса     где α - угол между векторами r и р, l - плечо вектора р относительно точки О.  Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина Lz, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О данной оси. Момент импульса Lz не зависит от положения точки О на оси z.  При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси z каждая точка тела движется по окружности постоянного радиуса riсо скоростью vi . Скорость vi и импульс mivi перпендикулярны этому радиусу, т. е. радиус является плечом вектора mivi . Значит, мы можем записать, что момент импульса отдельной частицы равен   (1)  и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта.  Монет импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц:     Используя формулу vi = ωri, получим     т. е.   2)  Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси равен моменту инерции тела относительно той же оси, умноженному на угловую скорость. Продифференцируем уравнение (2) по времени:     т. е.     Эта формула - еще одна форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси.  Можно показать, что имеет место векторное равенство   (3)  В замкнутой системе момент внешних сил   и   откуда    (4)  Выражение (4) представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.  Закон сохранения момента импульса также как и закон сохранения энергии является фундаментальным законом природы. Он связан со свойством симметрии пространства - его изотропностью, т. е. с инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета (относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол).  Здесь мы продемонстрируем закон сохранения момента импульса с помощью скамьи Жуковского. Человек, сидящий на скамье, вращающаяся вокруг вертикальной оси, и держащий в вытянутых руках гантели (рис. 2), вращается внешним механизмом с угловой скоростью ω1. Если человек прижмет гантели к телу, то момент инерции системы уменьшится. Но момент внешних сил равен нулю, момент импульса системы сохраняется и угловая скорость вращения ω2 увеличивается. Аналогичным образом, гимнаст во время прыжка через голову поджимает к туловищу руки и ноги, с целью уменьшить свой момент инерции и тем самым увеличить угловую скорость вращения. 

Рис.2

Сопоставим основные величины и уравнения, определяющие вращение тела вокруг неподвижной оси и его поступательное движение (см таблицы ниже).

17.Работа и кинетическая энергия при вращательном движении твердого тела.

Работа и кинетическая энергия при вращательном движении твердого тела. @

 ‑ угол между векторамиНайдем работу при вращательном движении твердого тела. Пусть ось враще­ния проходит через точку О, находящуюся на расстоянии r от точки приложения силы С, а   и .) на величину этого смещения r d. Работа силы равна произведению проекции силы вдоль смещения Fsin( точка приложения силы проходит путь dS=rd(рис.3.5). При повороте тела на бесконечно малый уголd  ) = M - момент силы. Таким образом:sin(r. НоF работа силы при вращении тела вокруг неподвижной оси равна произведе­нию момента действующей силы на угол поворота dA = Md.

Рис.3.5. Вычисление работы при вращательном движении твердого тела.

Чтобы рассчитать кинетическую энергию вращательного движения твердого тела, мысленно его разобьем наn материальных точек с массами m1, m2,...,mn, нахо­дящихся на расстояниях r1, r2,...,rn от оси вращения. Так как тело абсолютно твердое, уг­ловые скорости всех его точек одинаковы

.

Линейные скорости точек будут разные  , и т.д. Кинетическая энергия вращающегося тела Ек.вр равна

;

.

Работа внешних сил при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии. dA=dЕк.вр, следовательно работу можно пред­ставить как разность кинети­че­ских энергий ко­нечного и начального положений

Если тело катится без скольжения, то оно одновременно участвует в двух дви­жениях : по­ступательном и вращательном, и его кинети­чес­кая энергия

.

18.Плоское движение тела, скатывающееся с наклонной плоскости без скольжения.

С тем, чтобы проиллюстрировать применение законов динамики твёрдого тела, решим задачу о скатывании цилиндра с наклонной плоскости (рис. 10.5).

Сплошной цилиндр массы m и радиуса R скатывается без проскальзывания с наклонной плоскости. Угол наклона плоскости — a, а высота Н (Н » R). Начальная скорость цилиндра равна нулю. Определим время скатывания — Т и скорость центра масс цилиндра у основания наклонной плоскости.

При качении цилиндра на него действуют три силы: сила тяжести   , упругая сила реакции опоры   и сила трения покоя   (ведь качение без проскальзывания!).

Представим это движение суммой двух движений: поступательного со скоростью VC, с которой движется ось цилиндра, и вращательного вокруг оси цилиндра с угловой скоростью w.

 . (10.9)

Рис. 10.5

Эта связь скоростей поступательного и вращательного движений следует из условия «движение без проскальзывания».

Продифференцировав уравнение (10.9) по времени, получим соотношение углового и линейного ускорений цилиндра:

 , то есть   .

Воспользовавшись теоремой о движении точки центра масс, опишем поступательное движение цилиндра:

 . (10.10)

Для описания вращения воспользуемся основным уравнением динамики вращательного движения:

MC = IC × e. (10.11)

Спроецировав уравнение (10.10) на направления осей x и y, получим два скалярных уравнения:

x: mgSina – Fтр = maC; (10.12)

y: N – mgсosa = 0. (10.13)

Обратимся теперь к уравнению (10.11). Из трёх названных сил момент относительно оси цилиндра создаёт только сила трения:

 .

Момент инерции сплошного цилиндра относительно его оси равен (см. лекцию №9):

 .

Учитывая всё это, уравнение (10.11) перепишем так:

 . (10.14)

Решая совместно уравнения (10.12) и (10.14), получим следующие значения неизвестных величин:

 ; (10.15)

 . (10.16)

Из уравнения (10.15) следует, что с увеличением угла наклона a должна возрастать и сила трения покоя Fтр. Но, как известно, её рост ограничен предельным значением:

 . (10.17)

Так как сила трения покоя (10.15) не может превышать предельного значения (10.17), то должно выполняться неравенство:

⅓mgSina ≤ mmgCosa.

Отсюда следует, что скатывание будет происходить без проскальзывания до тех пор, пока угол a не превзойдёт значения aпред