12.Работа и потенциальная энергия в поле тяготения.

Установленный Ньютоном закон всемирного тяготения гласит:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Гравитационная силаилисила тяготения– это сила, с которой две материальные точки притягивают друг друга, пропорциональная массам этих точек и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними – гравитационная постоянная. Эта сила направлена вдоль прямой, проходящей через взаимодействующие материальные точки., где

Рассмотрим два тела массами m1,m2(считаем их материальными точками) и будем их сближать от расстоянияr1доr2.

Элементарная работа на пути drбудет . Полная работа

.

Т.е.  . Величина

(3.11)

называется потенциальной энергией тела в поле всемирного тяготения.

Если между телами действует сила притяжения, то Up<0;

если между телами действует сила отталкивания, то Up>0.

Из выражения (3.11) следует, что максимальное) удалены друг от друга (Uзначение потенциальной энергии тяготеющие тела будут иметь тогда, когда они бесконечно (r=p= 0).

Введем величину называемую потенциалом гравитационного поля.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Потенциал).– это скалярная величина, численно равная работе по перемещению в гравитационном поле тела единичной массы из данной точки поля на бесконечность (r=

; или . Поле можно характеризовать потенциальной энергией, которой обладает в данном месте материальная точка.

Получаем, что  . Зная потенциал, можно вычислить работу, совершаемую над частицей массой «m» силами поля при перемещении ее из положения 1 в положение 2: .

В потенциальном поле можно провести поверхность, имеющую одинаковый потенциал. Такая поверхность называетсяэквипотенциальной.

13.Закон сохранения энергии в механике

Закон сохранения энергии в механике.

Если тела, составляющие замкнутую механическую систему, взаимодействуют между собой только силами тяготения и упругости, то работа этих сил равна изменениюпотенциальной энергиител, взятому с противоположным знаком:A = –(Ep2 – Ep1).

По теореме о кинетической энергии эта работа равна изменению кинетической энергии тел: A = Ek2 – Ek1

Следовательно Ek2 – Ek1 = –(Ep2 – Ep1) или Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2

Сумма кинетической и потенциальной энергии тел, составляющих замкнутую систему и взаимодействующих между собой силами тяготения и силами упругости, остается неизменной.

Это утверждение выражает закон сохранения энергии в механических процессах. Он является следствием законов Ньютона. СуммуE=Ek+Epназываютполной механической энергией. Закон сохранения механической энергии выполняется только тогда, когда тела в замкнутой системе взаимодействуют между собой консервативными силами, то есть силами, для которых можно ввести понятие потенциальной энергии.

Очень важно отметить, что закон сохранения механической энергии позволил получить связь между координатами и скоростями тела в двух разных точках траектории без анализа закона движения тела во всех промежуточных точках. Применение закона сохранения механической энергии может в значительной степени упростить решение многих задач.

В реальных условиях практически всегда на движущиеся тела наряду с силами тяготения, силами упругости и другими консервативными силами действуют силы трения или силы сопротивления среды. Сила трения не является консервативной. Работа силы трения зависит от длины пути. Если между телами, составляющими замкнутую систему, действуют силы трения, то механическая энергия не сохраняется. Часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию тел (нагревание).При любых физических взаимодействиях энергия не возникает и не исчезает. Она лишь превращается из одной формы в другую.

Этот экспериментально установленный факт выражает фундаментальный закон природы – закон сохранения и превращения энергии.

14.Удар абсолютно упругих и неупругих тел.

Удар абсолютно упругих и неупругих тел

Примером применения законов сохранения количества движения и энергии при решении реальной физической задачи является удар абсолютно упругих и неупругих тел.

Удар (или соударение) — это встреча двух или более тел, при которой взаимодействие длится очень короткое время. Исходя из данного определения, кроме явлений, которые можно отнести к ударам в прямом смысле этого слова (столкновения атомов или биллиардных шаров), сюда можно отнести и такие, как удар человека о землю при прыжке с трамвая и т. д. При ударе в телах возникают столь значительные внутренние силы, что внешними силами, действующими на них, можно пренебречь. Это позволяет рассматривать соударяющиеся тела как замкнутую систему и применять к ней законы сохранения.

Прямая, проходящая через точку соприкосновения тел и нормальная к поверхности их соприкосновения, называется линией удара. Удар называется центральным, если тела до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры масс. Мы будем рассматривать только центральные абсолютно упругие и абсолютно неупругие удары.

Абсолютно упругий удар — столкновение двух тел, в результате которого в обоиx взаимодействующих телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова превращается в кинетическую энергию.

Для абсолютно упругого удара выполняются закон сохранения количества движения и закон сохранения кинетической энергии. Обозначим скорости шаров массами m1 и m2 до удара черезv1 иv2, после удара — черезv'1иv'2 (рис. 16). Так как удар центральный, то будем рассматривать модули величин. Законы сохранения имеют вид

m2

m1v1+ m2v2= m1υ1′

+ m2υ2′

(14.1)

m1

v1

v2

m1v12

m2v22

m1υ1′

2

m2υ2′2

m2

+

=

(14.2)

m1

2

2

2

+

2

v`1

v`2

Рис. 16

27

Произведя соответствующие преобразования в выражениях (14.1) и (14.2), получим

m1(υ1′		+v1 )= m2 (υ2′ +v2 )						(14.3)
m1( v12 +υ1′2 )= m2 ( v22 +υ2′2 )								(14.4)
откуда	υ1′		+v1 =υ2′ +v2
Решая совместно уравнения (14.3), (14.4) и (14.5), находим
υ1′ = ( m1 −m2 )v1 + 2m2v2								(14.6)
				m1+ m2
υ2′	= ( m2 −m1 )v2 + 2m1v1								(14.7)
			m1+ m2
Для анализа полученных результатов разберем несколько примеров:
1) при v 2 =0			m1−m2
	υ1′					v1			(14.8)
			= m		+ m
			1		2
	υ2′ =			2m1			v1		(14.9)
				m	+ m
			1		2

Проанализируем выражения (14.8) и (14.9) для различных масс:

а) m1 = m2. Если второй шар до удара висел неподвижно (v2 = 0) (рис.17), то после удара остановится первый шар (υ'1 = 0), а второй будет двигаться с той же скоростью и в том же направлении, в котором двигался первый шар до

v`2 удара (υ`2 = v1);

v1	v2	v`2
	Рис. 17
m1		m2
	v1	v2=0
m1		m2
	v`1	v`2

б) m1 > m2. Первый шар продолжает двигаться в том же направлении, как и до удара, но с меньшей скоростью (υ'1 < υ1). Скорость второго шара после удара больше, чем скорость первого после удара (υ'2 > υ'1) (рис. 18);

в) m1 < m2. Направление движения первого шара при ударе изменяется — шар отскакивает обратно. Второй шар движется в ту же сторону, в

Рис. 18

28

которую двигался первый шар до удара, но с меньшей скоростью (рис. 19);

		m2				г) m1		>> m2 (например, столкновение со
m1						стеной). Из уравнений (14.8) и (14.9) следует,
						что
	v1		v2=0
		m2						υ'1 = - v1, υ'2 ≈ 2m1v1/m2 ≈ 0
m1
				v`2		2) при m1 = m2. Выражения (15.6) и (15.7) будут
v`1						иметь вид		υ'1 = v2, υ'2 = v1,
	Рис. 19
					т. е.		шары равной массы обмениваются

скоростями.

m1m2

v1v2

m1+m2

v

Рис. 20

Абсолютно неупругий удар — столкновение двух тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое целое. Продемонстрировать абсолютно неупругий удар можно с помощью шаров из пластилина (глины), движущихся навстречу друг другу (рис. 20).

Если массы. тел m1 и m2, их скорости до удараv1 иv2, то используя закон сохранения импульса, можно записать

m1v1+ m2v2 =( m1+ m2)v

откуда

v = m1v1	+ m2 v2	(14.10)
m + m
1	2

Если шары движутся навстречу друг другу, то они вместе будут продолжать двигаться в ту сторону, в которую двигался шар, о бладающий большим количеством движения. В частном случае, если массы шаров равны (m1 = m2), то

v =(v1 +v2)/2

Выясним, как изменяется кинетическая энергия шаров при центральном абсолютно неупругом ударе. Так как в процессе соударения шаров между ними действуют силы, зависящие не от величины самих деформаций, а от скоростей деформаций, то мы имеем дело с силами, подобными силам трения, поэтому закон сохранения механической энергии не должен соблюдаться. Вследствие деформации происходит потеря кинетической энергии, перешедшей в тепловую или другие формы энергии, Эту потерю можно определить по разности кинетической энергии тел до и после удара:

			29
	2		2			( m1 + m2 )v	2
m1v1		+	m2v2		−
∆T=	2		2			2

Используя (14.10), получим

	∆T=	m1m2			( v −v )2
		2( m + m )
					1 2
		1	2

Если ударяемое тело было первоначально неподвижно (v2 = 0), то

v =			m1v2
		m + m
			1	2
			m	m v2
∆T=			2	1		1
	m + m			2
		1	2

Когда m2 » m1, (масса неподвижного тела очень большая), то v << v1, и почти вся кинетическая энергия дела при ударе переходит в другие формы энергии. Абсолютно неупругий удар — пример того, как происходит потеря механической энергии под действием диссипативных сил.