2. Импульс. Центр масс.

Занятие 1

Задача 1

Частица массы m движется со скоростью v, а частица массы 2m движется со скоростью 2v в направлении, перпендикулярном направлению движения первой частицы. На каждую частицу начинают действовать одинаковые силы. После прекращения действия сил первая частица движется со скоростью 2v в направлении, обратном первоначальному. Определить скорость второй частицы.

Задача 2

В масс-пролетном спектрометре источник испускает сгусток заряженных частиц, которые сначала летят свободно, и пролетают первый датчик D₁, находящийся на расстоянии L от сетки. За сеткой, по нормали к ней, на частицы действует электрическая сила F. Частицы поворачиваются и вылетают через сетку назад, пролетая через второй датчик D₂, находящийся на том же расстоянии от сетки. От напряжения источника зависит скорость вылетающих частиц, но точное ее значение остается неизвестным. Меняя напряжения, измеряют время между срабатываниями датчиков и находят наименьшее его значение Δt. Какова масса частицы? Как можно найти массу частиц, если источник испускает несколько сортов частиц с разной массой?

Задача 3

Ящик с песком массы M лежит на горизонтальной плоскости, коэффициент трения с которой равен µ. Под углом α к вертикали в ящик со скоростью v влетает пуля массы m и почти мгновенно застревает в песке. Через какое время после попадания пули в ящик, он, начав движение, остановится? При каком значении α он вообще не сдвинется?

Задача 4

При наблюдениях с Земли удается определить только радиальную скорость звезд-партнеров, входящих в состав двойной звезды. При измерениях получены значения радиальной скорости v₁ и u₁ звезд партнеров двойной звезды. При повторных измерениях, проведенных через год, значения этой скорости составили v₂ и u₂. Найдите отношения масс звезд, входящих в состав двойной звезды. Почему нужно изменить расчеты, если повторное измерение проводится через день, месяц или полгода?

Задача 5

На покоящееся тело массы m₁ налетает со скоростью v тело массы m₂. Сила, возникающая при взаимодействии тел, линейно зависящая от времени, растет от нуля до значения F₀ за время t₀, а затем равномерно убывает до нуля за то же время. Определите скорости тел после взаимодействия, считая, что движение происходит по одной прямой.

Задача 6

Космический корабль перед отделением последней ступени ракеты-носителя имел скорость v, после отбрасывания последней ступени его скорость стала равной 1.01v, при этом отделившаяся ступень удаляется от корабля со скоростью 0.04v. Какова масса последней ступени, если масса корабля m₀?

Задача 7

Протон с начальной скоростью v летит прямо на первоначально покоящееся ядро гелия. Какова скорость частиц при наибольшем их сближении? Масса ядра гелия близка к учетверенной массе протона.

Задача 8

При β-распаде покоящегося первоначально нейтрона образуются протон, электрон и нейтрино. Импульсы протона и электрона равны p₁ и p₂, угол между ними α. Определите импульс нейтрино.

Занятие 2

Задача 9

Где находится центр масс однородного прута, согнутого посередине под прямым углом? Однородной треугольной пластинки?

Задача 10

На первоначально неподвижной тележке установлены два вертикальных цилиндрических сосуда, соединенных тонкой трубкой. Площадь сечения каждого сосуда равна S, расстояние между их осями l. Один из сосудов заполнен жидкостью плотности ρ. Кран на соединительной трубке открывают. Найдите скорость тележки в момент времени, когда скорость уровня жидкости равна v. Полная масса системы равна m.

Задача 11

На гладком полу стоит сосуд заполненный водой плотности ρ₀, объем воды в сосуде V₀. Оказавшийся на дне сосуда жук объема V и плотности ρ начинает ползти по дну сосуда со скоростью u относительно него. С какой скоростью станет двигаться сосуд по полу? Массой сосуда пренебречь, уровень воды все время остается горизонтальным.

Задача 12

Два тела массы m₁ и m₂ связаны натянутой нитью длины l и движутся по гладкой горизонтальной поверхности. В некоторый момент времени оказалось, что тело массы m₁ неподвижно, а другое тело движется со скоростью v перпендикулярно нити. Определите силу натяжения нити.

Задача 13

Космическая станция состоит из двух отсеков массы m₁ и m₂, соединенных длинным однородным тросом длины L. Станция вращается вокруг своей оси, перпендикулярной тросу. Какова угловая скорость вращения, если сила натяжения троса вблизи первого отсека равна T₁, а вблизи второго T₂? Какова масса троса?

Задача 15

Три точечные массы m₁, m₂, m₃ связаны нитями длины l и вращаются с угловой скоростью ω вокруг центра масс сохраняя конфигурацию равностороннего треугольника. Найдите силу натяжения всех нитей.

Занятие 3

Задача 16

На тележке установлен цилиндрический сосуд с площадью сечения S, наполненный жидкостью плотности ρ. От сосуда, параллельно полу, отходит тонкая горизонтальная трубка длины L, небольшой отрезок которой загнут по вертикали вниз. Уровень жидкости в сосуде опускается с ускорением a. Какой горизонтальной силой можно удержать тележку на месте?

Задача 17

Обезьяна массы m уравновешена противовесом на блоке A. Блок A уравновешен грузом массы 2m на блоке B. В исходном состоянии система неподвижна. Обезьяна начинает равномерно выбирать веревку со скоростью u относительно себя. Как будут двигаться грузы? Массой блоков и трением пренебречь.

Задача 18

На тросе висит небольшой ящик с песком. В ящик стреляют из пулемета и пули застревают в песке. Скорость пули v, масса пули m, масса ящика с песком M. Трос отклоняется на угол α от вертикали. Какова скорострельность пулемета, если все выпущенные пули попадают в цель?

Задача 19

В цилиндре под поршнем массы M прыгают, упруго ударяясь о поршень и дно цилиндра, N>>1 шариков массы m каждый. Сила тяжести, действующая на поршень, уравновешена ударами шариков. Расстояние между дном цилиндра и поршнем равно h. Полная энергия каждого шарика одинакова. На какую высоту будут подскакивать шарики, если поршень мгновенно убрать (за время поднятия поршня не произойдет столкновений между шариками и поршнем)?

Задача 20

Две тележки массы M каждая движутся параллельно со скоростями v1 и v2. Груз массы m, сначала лежавший на первой тележке, с почти нулевой скоростью относительно этой тележки перебрасывают на вторую тележку. Затем с почти нулевой скоростью уже относительно второй тележки его перебрасывают обратно на первую. Какой станет разность скоростей тележек после N таких перебросов груза туда и обратно?

Задача 21

Веревку, перекинутую через гладкий гвоздь, протаскивают со скоростью v сквозь щель. Сила трения в щели F, масса единицы длины веревки ρ. Определите силу, действующую на гвоздь, если участки веревки по разные стороны гвоздя образуют угол α. При какой скорости веревка отойдет от гвоздя?

Задача 22

Газ, вытекающий из сопла ракеты, имеет скорость v относительно нее. Определите изменения скорости ракеты после того, как ее масса из-за истечения газа уменьшилась в n раз.