5. Движение со связями.

Занятие 6

Задача 29

Четыре черепахи находятся в вершинах квадрата со стороной а. Они начинают двигаться одновременно с постоянной по модулю скоростью v. Каждая черепаха движется по направлению к своей соседке по часовой. Где и через какое время встретятся черепахи?

Задача 30

На рисунке скорость груза А равна v_A. Чему равна скорость груза В?

Задача 31

Постройте примерный график зависимости скорости точки В от времени если скорость v_A точки А постоянна. Найдите формулу этой зависимости при x(0) = 0 и постройте ее график.

Задача 32

Скорость точки А твердого тела равна v и образует угол 45° с направлением прямой AB. Скорость точки В этого тела равна u. Определите проекцию скорости точки B на направление АВ.

Задача 33

Найдите зависимость скорости точки поверхности колеса радиуса R от ее положения на поверхности (угла α между вертикалью, проходящей через ось колеса, и направлением на точку) и скорости колеса V. Проскальзывания между колесом и горизонтальной подстилающей поверхностью нет.

Задача 34

Нить, намотанную на ось катушки, тянут со скоростью v под углом α к горизонту. Катушка катится по горизонтальной плоскости без проскальзывания. Найдите скорость оси и угловую скорость вращения катушки. При каких углах α ось движется вправо, а при каких влево? Нить достаточно длинна и не провисает, таким образом угол α остается постоянным.

Задача 35

Стержень, шарнирно закрепленный одним концом на горизонтальной плоскости, лежит на цилиндре. Угловая скорость стержня равна ω. Проскальзывания между цилиндром и плоскостью нет. Найдите зависимость угловой скорости цилиндра от угла α между стержнем и плоскостью.

2. Динамика.

   1. Законы Ньютона.

Занятие 1

Задача 1

В электронно-лучевой трубке электроны с начальной горизонтальной скоростью v влетают в область электрического поля протяженности l, где на них действует вертикальная сила со стороны заряженных отклоняющих пластин. Чему равна эта сила, если электроны, попадая на экран, смещаются на расстояние y по сравнению со случаем незаряженных пластин? Экран находится на расстоянии L от центра области действия электрической силы. Масса электрона m_e.

Задача 2

Четырьмя натянутыми нитями груз закреплен на тележке. Сила натяжения горизонтальных нитей соответственно T₁ и T₂, а вертикальных – T₃ и T₄. С каким ускорением движется тележка по горизонтальной плоскости?

Задача 3

Динамометр состоит из двух цилиндров, соединенных легкой пружиной. Найдите соотношение масс этих цилиндров, если при приложенных к ним силам F₁ и F₂ динамометр показывает силу F.

Задача 4

Два груза массой соответственно m₁ и m₂ соединены нитью перекинутой через блок, закрепленный на потолке. Найдите ускорение грузов и силы натяжения нити в месте крепления к грузам. Блок и нити невесомы, трение отсутствует.

Задача 5

Система из трех одинаковых шаров, связанных одинаковыми пружинами, подвешена на нити к потолку и находится в равновесии. Нить перерезают, найдите ускорения шаров сразу после перерезания нити.

Задача 6

Тело массы m, с разных сторон, соединено двумя пружинами жесткости k₁ и k₂ с неподвижными стенками, пружины первоначально не деформированы. При возникновении колебаний, наибольшее ускорение тела равно a. Найдите максимальное отклонение тела от положения равновесия и максимальные силы, с которыми пружины действуют на стенки.

Задача 7

Тело массы m прикреплено к двум соединенным последовательно пружинам жесткости k₁ и k₂. К свободному концу цепочки пружин приложена постоянная сила F. Каково суммарное удлинение пружин, если движение системы установилось (колебания прекратились)?

Занятие 2

Задача 8

Тело, находящееся на горизонтальной плоскости, тянут за нить в горизонтальном направлении. Нарисуйте график зависимости силы трения, действующей на тело со стороны плоскости, от силы натяжения нити. Первоначально тело неподвижно. Масса тела равна 10 кг, а коэффициент трения 0,51.

Задача 9

Ленточный подъемник образует угол α с горизонтом. С каким максимальным ускорением может подниматься ящик на таком подъемнике, если коэффициент трения равен μ? Лента подъемника не прогибается.

Задача 10

Цилиндр скользит по желобу, имеющему вид двугранного угла с раствором α. Ребро двугранного угла наклонено под углом β к горизонту. Плоскости двугранного угла образуют одинаковые углы с горизонтом. Определите ускорение цилиндра. Коэффициент трения между цилиндром и поверхностью желоба μ.

Задача 11

По деревянным сходням, образующим угол α с горизонтом втаскивают за привязанную к нему веревку массивный ящик. Коэффициент трения ящика о сходни μ. Под каким углом к горизонту следует тянуть за веревку, чтобы с наименьшим усилием втащить ящик?

Задача 12

Человек массы m₁, оставаясь на месте, тянет за веревку груз массы m₂. Коэффициент трения о горизонтальную плоскость равен μ. При какой наименьшей силе натяжения веревки груз сдвинется с места? Различием в сопротивлении трения покоя и скольжения пренебречь.

Задача 13

Тело массы m₁ лежит на доске массы m₂, находящейся на гладкой горизонтальной плоскости. Коэффициент трения между телом и доской μ. Какую силу нужно приложить к доске, чтобы тело соскользнуло с нее? За какое время тело соскользнет, если к доске приложена сила F₀, а длина доски равна L? С каким ускорением будут двигаться тело и доска, если сила F₀ приложена к телу массы m₁?

Занятие 3

Задача 14

Масса воздушного шара вместе с канатом, волочащимся по земле, равна m; выталкивающая сила, действующая на шар, равна F; коэффициент трения каната о землю равен μ. Сила сопротивления воздуха, действующая на воздушный шар, пропорциональна квадрату скорости шара относительно воздуха и равна α . Найдите скорость шара относительно земли, если дует горизонтальный ветер со скоростью u.

Задача 15

Лента горизонтального транспортера движется со скоростью u. На ленту по касательной к ней влетает шайба, начальная скорость v которой перпендикулярна краю ленты. Найдите максимальную ширину ленты, при которой шайба достигнет другого ее края, если коэффициент трения между шайбой и лентой μ.

Задача 16

Какая шайба, вращающаяся вокруг своей или не вращающаяся пройдет больший путь до остановки? Начальная скорость центров шайб одинакова.

Задача 17

Горизонтальную ось радиуса R, вращающуюся с угловой скоростью ω, обжимает втулка, снабженная противовесом, чтобы перемещаясь вдоль оси, она не вращалась. Определите установившуюся скорость втулки под действием силы F, приложенной к ней вдоль оси. Максимальная сила трения оси о втулку F_тр > F.

Задача 18

На плоскости, тангенс угла наклона которой равен коэффициенту трения, лежит монетка. В горизонтальном направлении вдоль плоскости монете сообщили скорость v. Найдите установившуюся скорость монеты.

Занятие 4

Задача 19

Найдите ускорение тел системы изображенной на рисунке. Сила F приложена в направлении нити к одному из тел массы m. Участки нити по обе стороны от легкого блока, прикрепленного к телу массы M, параллельны.

Задача 20

К свободному концу нити, прикрепленной к стенке и переброшенной через ролик, подвешен груз. Ролик закреплен на бруске массы m₀, который может скользить по горизонтальной плоскости без трения. В начальный момент нить с грузом отклоняют на угол α от вертикали, а затем отпускают. Определите ускорение бруска, если известно, что угол, образованный нитью с вертикалью, не меняется при движении системы. Чему равна масса груза?

Задача 21

Скорость тела массы m в жидкости убывает с пройденным расстоянием l по закону , где – начальная скорость, а β – постоянный коэффициент. Как зависит сила вязкого трения, действующая на тело со стороны жидкости, от скорости тела?

Задача 22

Сила сопротивления воздуха, действующая на капли дождя, пропорциональна произведению квадрата скорости капель на квадрат их радиуса: , где ρ – плотность воздуха, а безразмерный коэффициент равен приблизительно 0,16 (а α 0,3). Какие капли, крупные или мелкие, падают на землю с большей скоростью? Оцените скорость капли радиусом в 1 мм при падении с большой высоты.

Задача 23

Сила сопротивления воздуха, действующая на капли тумана, пропорциональна произведению радиуса на скорость: . Капли радиуса 0,1 мм падая с большой высоты имеют скорость порядка 1 м/с. Какую скорость будут иметь капли, радиус которых в два раза меньше? А в десять раз?

Занятие 5

Задача 24

На два катка разного радиуса положи тяжелую плиту. Она образует угол α с горизонтом. Найдите ускорение этой плиты. Проскальзывания нет. Масса катков в сравнении с массой плиты мала.

Задача 25

Тело массы M связано нитью длины l с осью, вокруг которой оно обращается с угловой скоростью ω. Найдите силу натяжения нити. Размером тела и силой тяжести пренебречь. Замените нить однородной веревкой массы m и найдите зависимость силы натяжения веревки от расстояния x от оси вращения.

Задача 26

На гладкое проволочное кольцо радиуса R, расположенное вертикально, надета маленькая бусинка массы m, которая может скользить по кольцу без трения. Кольцо вращается с угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси, проходящей по диаметру кольца. Где находится бусинка?

Задача 27

Из тонкого резинового жгута массы m и жесткости k сделали кольцо радиуса R₀. Это кольцо раскрутили вокруг его оси. Найдите новый радиус кольца, если угловая скорость его вращения ω.

Занятие 6

Задача 28

Кольцевая цепочка массы m надета на горизонтальный диск радиуса R. Сила натяжения надетой цепочки равна T. Найдите коэффициент трения между диском и цепочкой, если при вращении диска с угловой скоростью равной или большей ω, цепочка с него спадает.

Задача 29

Конькобежец на ледяной дорожке старается пройти вираж как можно ближе к внутренней бровке. Велосипедист на велотреке, наоборот, проходит вираж как можно дальше от внутренней бровки. Как объяснить это различие в тактике прохождения виража? Профиль велотрека все круче по мере удаления от внутренней бровки.

Задача 30

В цирковом аттракционе мотоциклист движется по внутренней поверхности сферы радиуса R. Разогнавшись, он начинает описывать горизонтальную окружность в верхней полусфере. После этого, для пущего эффекта нижнюю полусферу убирают. Определите минимальную скорость мотоциклиста, если коэффициент трения шин о поверхность сферы равен μ, а угол между вертикалью и направлением к мотоциклисту из центра сферы равен α.

Задача 31

С какой угловой скоростью должен вращаться вокруг своей оси горизонтально расположенный цилиндр, чтобы мелкие частицы внутри цилиндра не соскальзывали с его поверхности? Коэффициент трения между поверхностью цилиндра и частицами µ=1, внутренний радиус цилиндра R.