2.8. Отношения между элементами одного множества

53

Задание 31

Приведите примеры множеств, равномощных множеству:

• времен года;

• углов у пятиугольника;

• ног у человека.

5. Отношения между элементами одного множества

Связи между элементами одного множества в математике назы­вают отношениями.

Отношения очень многообразны, например:

• на множестве людей: «старше», «родиться в одном месяце», «выше», «жить в одном доме», «быть сестрой»;

• на множестве предметов: «быть одной формы», «быть одного цвета», «тяжелее»;

• на множестве понятий: «быть видом», «быть частью»;

• на множестве предложений: «следовать», «быть равносильны­ми»;

• на множестве чисел: «больше», «меньше на 1», «быть равны­ми», «следовать за»;

• на множестве прямых: «быть параллельными», «пересекать­ся»;

• на множестве отрезков: «длиннее», «короче».

Отношения могут быть заданы и на символическом языке, на­пример, как в задании 32.

Задание 32

Прочитайте записи, определите, какое отношение, на каком мно­жестве задано:

1. х>у, у=3х;

2. э||Ь, Ilk;

3. АВ=СД, £F||N/W.

Отношения между двумя объектами называют бинарными. Способы задания отношений на множестве

1. Указывают характеристическое свойство всех пар элементов, находящихся в этом отношении.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

2. Перечисляют все пары элементов, взятых из множества и связанных этим отношением.

Например, элементы множества X = {1, 2, 3, 4, 5} связаны от­ношением «быть больше на 1». В этом случае отношение задано с помощью предложения «число х больше числа у на 1». Это же отно­шение можно задать, перечислив все пары чисел, связанных дан­ным отношением: (2,1), (3,2), (4,3), (5,4).

Полезно предлагать детям упражнения, выполняя которые они переходят от одного способа задания отношений на множестве к другому. Например.

1. Вставьте пропущенное число: (1;6), (8; 13), (5; 10), (7; 12), (3; ...).

Здесь необходимо сначала выяснить характеристическое свой­ство всех пар чисел, а затем найти пропущенный элемент.

2. «Оля, Катя, Сережа, Валера — дети одних родителей. Назови­те, кто кому является братом».

Выполняя данное упражнение, дети должны перейти от задания отношения с помощью характеристического свойства к перечисле­нию пар элементов.

Данное отношение «быть братом» можно изобразить при помо­щи графа. Все элементы множества изображаются точками, а отно­шения — стрелками (рис. 40).

Оля Катя

Рис. 40

Задание 33

Придумайте различные отношения на множестве одной семьи (мама, папа, их дети — Оля, Катя, Сережа, Валера) и изобразите эти отношения с помощью графов.

В процессе игры или обучения детям постоянно приходится рассматривать элементы одного множества и устанавливать отноше­ния между ними:

• сравнивать по величине;

• подбирать одинаковые по цвету или форме;

55

• упорядочивать;

• делить на группы.

Очень важным считается умение ребенка определять взаимно об­ратные отношения. Например: «больше — меньше», «длиннее — ко­роче», «старше — младше» и др.

В математике изучают разнообразные отношения. Чтобы облег­чить решение этой задачи, отношения классифицируют по свой­ствам.

Задание 34

На множестве отрезков, изображенных на рисунке 41, заданы от­ношения: «быть параллельным», «быть перпендикулярным», «быть равным», «быть длиннее». Постройте графы этих отношений.

В результате выполнения задания 34 можно заметить некоторые особенности графов разных отношений (рис. 42). Эти особенности отражают различные свойства отношений.

Граф отношения параллельности Граф отношения перпендикулярности

a

е

d

^С1

ь

Рис. 41

Граф отношения равенства

Граф отношения «длиннее»

Рис. 42