2.3. Отношения между множествами

41

Множества равны, если они состоят из одних и тех же элемен­тов.

Пишут: В=Е.

Можно дать и другое определение:

Множества равны, если каждый элемент одного множества явля­ется элементом другого множества, и, наоборот, каждый элемент второго множества является элементом первого множества.

В=Е о В cz Е н Е с: В

Задание 21

1. Установите отношения между множествами, выделенными вами

на рисунке 30.

2. Установите отношения множества А с другими множествами, если:

А={а, Ь, с, d, е};

6={Ь, d, к, е};

С={с, е};

D={c, d, а, Ь, е};

Е={к, I, т}.

3. Выделите все подмножества множества Е={к, I, т}.

Задания на распознавание отношений между множествами при­меняются в работе с детьми очень часто. Например, для выделения подмножества из множества даются такие задания:

• «Из всех игрушек отбери кубики» (для дошкольников)

• «Среди данных чисел назови четные» (для учащихся на­чальных классов).

Наглядно отношения между множествами изображают при помощи особых чертежей, называемых кругами Эйлера. (Леонард Эйлер (1707-1783) - выдающийся математик, механик, физик и ас­троном, по происхождению швейцарец; работал в Петербурге, в

Отношения между множествами

пересекаются не пересекаются

Рис. 31

42 Элементы теории множеств

Берлине). Множества, независимо от количества элементов в них, изображают при помощи кругов (рис. 31).

Итак, можно выделить разные отношения между множествами:

1. множества не пересекаются;

2. множества пересекаются:

• множества имеют общие элементы, но ни одно не является подмножеством другого;

• одно множество является подмножеством другого, но мно­жества неравны;

• множества равны.

Задание 22

1. Изобразите при помощи кругов Эйлера отношения между мно­жествами, выделенными вами на рисунке 30.

2. Установите, какой из чертежей на рисунке 32 отражает отноше­ния между следующими множествами:

а) множество натуральных чисел, множество целых чисел, множе­ство рациональных чисел;

б) объем понятия «четырехугольник», объем понятия «прямоуголь­ник», объем понятия «ромб»;

в) множество пальцев на правой руке, множество пальцев на левой ноге, множество пальцев у человека;

г) объем понятия «женское имя», объем понятия «мужское имя», объем понятия «кличка животного».

1)

2)

3)

4)

Рис. 32

2.4. Операции над множествами

Из элементов двух множеств можно образовывать новые мно­жества, которые являются результатом определенных операций над множествами.

43

Пересечением двух множеств А и В называется множество А п В, содержащее только те элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В.

Рассмотрим примеры, используя рисунок 30.

1. Пусть А — множество треугольников, В — множество черных фигур, С - множество черных треугольников. Тогда множество С можно рассматривать как пересечение множеств А и В, так как черные треугольники принадлежат обоим множествам: А п В = С.

2. Пусть А — множество треугольников, В — множество черных треугольников. Тогда их пересечением будет множество В, так как В является подмножеством А: А п В = В.

3. Пусть А — множество квадратов, В — множество четырехугольников. Тогда их пересечением будет любое из этих множеств, так как множества А и В равны: А п В = А или Ап В - В.

4. Пусть А — множество треугольников, В — множество квадратов. У этих множеств нет общих элементов, поэтому результатом их пересечения будет пустое множество А п В = 0.

В работе с детьми чаще всего рассматривается первый случай. Он учит выделять общие элементы в множествах.

Результат пересечения двух множеств зависит от их отношений и может быть изображен при помощи кругов Эйлера так, как на ри­сунке 33.

Начертите два треугольника так, чтобы их пересечением были:

• точка;

• отрезок;

• треугольник;

• четырехугольник;

• пятиугольник;

• шестиугольник.

А п В= {* | хеЛ и хеВ}

Ап В = С А гл В = В Ап В = А Ап В = 0

С — закрашенная область А пВ = В

Рис. 33

Задание 23

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Над множествами выполняют и другую операцию — объединение.

Объединением двух множеств А и В называется множество АиВ, содержащее только те элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.

A <jB={х | хе А или дсе В}

Рассмотрим примеры, используя рисунок 30.

1. Пусть А — множество треугольников, В — множество черных фигур, С — множество всех фигур. Тогда множество С можно рас­сматривать как объединение множеств А и В\ А <иВ = С.

2. Пусть А — множество треугольников, В — множество черных треугольников. Тогда их объединением будет множество А: А иВ-А.

3. Пусть А — множество квадратов, В — множество четырехугольников. Тогда их объединением будет любое из этих множеств, так как множества Aw В равны: A и 2? = А или Аи В = В.

4. Пусть А - множество треугольников, В — множество квадратов, С — множество всех фигур. Тогда результатом объединения множеств А и В будет множество С: А и В = С.

В случае пересекающихся множеств (пример 1) общие элементы множеств А и В в объединении записываются только один раз. Например, если А = {а, Ь, с, d), В = {b, с, k, I, т} , то А и В = {а, Ь, с, d, к, I, т}.

В работе с детьми чаще всего рассматривается четвертый слу­чай. Он учит объединять непересекающиеся множества. Это ис­пользуется и для изучения действия сложения чисел. Например: на столе лежат яблоки и груши.

• Сколько яблок? (3)

• Сколько груш? (2)

• Сколько всего фруктов? (5)

• Как получилось число 5? (3+2).

С помощью кругов Эйлера объединение можно изобразить так, как показано на рисунке 34.

А<иВ = С АиВ=А ЛиВ=А Л и В = С

С — закрашенная область А и В — В

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Для любых множеств А и В выполняются равенства:

(А пВ)пС = Ап (В пС)

(А и В) и С = А и (В и С)

3. Дистрибутивное свойство (распределительное):

Для любых множеств А и В выполняются равенства: (А'оВ)пС=(АпС)и(ВглС)

(А п В) и С - (А и С) п (В и Q

Замечание:

Если нет скобок, то сначала выполняют пересечение, а затем объ-

единение (п более «сильная» операция, чем и).

Задание 25

Проиллюстрируйте ассоциативное (сочетательное) свойство пересечения и объединения множеств, используя круги Эйлера (рис. 35).

С

Можно находить разность множеств. ^Рис- ³⁵

Разностью множеств А и В называется множество А\В, содержащее только те элементы, которые принадлежат мно­жеству А и не принадлежат множеству В.

А\В={ х | дсе А и xiB)

Рассмотрим примеры, используя рисунок 30.

1. Пусть А — множество треугольников, В — множество черных фигур, С — множество белых треугольников. Тогда множество С можно рассматривать как разность множеств А и В, так как белые треугольники принадлежат множеству А и не принадлежат множес­тву В: А\В-С.

2. Пусть А - множество изображенных треугольников, В - мно­жество изображенных черных треугольников, С — множество изо­браженных белых треугольников. Так как множество В является подмножеством множества А, то оставшаяся часть множества А, то есть белые треугольники (множество Q, и будет разностью: А\В=С.

3. Пусть А — множество изображенных квадратов, В — множество изображенных четырехугольников. Так как эти множества равны, то разностью множества А и В будет пустое множество: А\В=0.

4. Пусть А — множество изображенных треугольников, В — мно­жество изображенных квадратов. У этих множеств нет общих эле­ментов, то есть ни один элемент множества А не принадлежит мно­