Тема 2 элементы теории множеств

2.1. Понятие множества и элемента множества

В конце XIX века возникла новая область математики — теория множеств, одним из создателей которой был немецкий математик Георг Кантор (1845 — 1918). Эта теория, несмотря на небольшой возраст, стала фундаментом всей математики.

Множество — одно из основных математических понятий, поэ­тому не имеет явного определения, а поясняется на примерах. Оно возникло как обобщение таких понятий, как класс, группа, сово­купность, набор, стая, стадо и др.

Можно говорить о множестве домов на улице, о множестве пальцев на руке у человека, множестве углов у квадрата, множестве натуральных чисел.

Элементы множества — объекты, из которых образовано мно­жество.

Различают множества конечные и бесконечные. Например, мно­жество страниц в книге — это конечное множество, а множество то­чек на прямой — бесконечное множество.

В русском языке слово «множество» обозначает большое число предметов. В математике рассматривают не только множества с большим числом элементов, но и одноэлементные множества, а также пустое множество, которое не содержит ни одного элемента.

На рисунке 26 можно увидеть примеры различных множеств.

Множества обозначают заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С. Для некоторых числовых множеств приняты стандартные обозначения:

N — множество натуральных чисел;

Z — множество целых чисел;

Q — множество рациональных чисел;

/ — множество иррациональных чисел;

R — множество действительных чисел.

0 — символ, обозначающий пустое множество.

Элементы множества принято обозначать строчными буквами латинского алфавита: а, Ь, с... а е А — читают:

«Объект а принадлежит множеству А»;

«Объект а является элементом множества А»;

«Множество А содержит элемент а».

Задание 17

'А

Рис. 27

Прочитайте самостоятельно тремя способами: а£А.

Примеры: 3eN — «3 — натуральное число»;

*£ -5&N — «—5 - не является натуральным числом».

Замечание: в геометрии приняты другие обозначения (рис. 27): Аеа, где а — прямая, то есть множество точек, А — точка, то есть элемент множества.

Если хотят указать все элементы множества, то перечисляют их и записывают в фигурных скобках через запятую: А = {а, Ь, с}. Чита­ют: «Множество А состоит из элементов а, Ь, с». Причем порядок записи элементов в множестве несуществен, так: А = {b, с, а).

Элементы множества рассматриваются как целое, их части не являются элементами данного множества.