1.1.5 Преобразование активных ветвей

Замена ветви с несколькими источниками ЭДС ветвью с одной эквивалентной ЭДС. Условиями эквивалентности является равенство напряжений на зажимах (U_ab, рисунок 13) исходной и эквивалентной ветвей, а также токов в ветвях.

Рисунок 13

Величины Е_Э, R_Э можно определить с помощью второго закона Кирхгофа. Так, для исходной ветви (рисунок 13)

(7)

для эквивалентной ветви

(8)

Сравнивая выражения (7) и (8), получим

; (9)

Формула (9) получена с учетом того, что направление эквивалентной ЭДС выбрано совпадающим с направлением тока в цепи. Отсюда следует простое правило расчета Е_Э: если направление ЭДС источника в исходной цепи (E₁, рисунок 13) совпадает с направлением тока, то она входит в правую часть формулы (9) со знаком плюс, иначе – минус (Е₂, рисунок 13).

Замена параллельных ветвей, содержащих источники ЭДС и тока, одной эквивалентной.

Рисунок 14

Эквивалентная ЭДС и сопротивление определяются по следующим формулам:

(10)

(11)

где q – общее количество параллельных ветвей;

n – число ветвей, содержащих источники ЭДС;

m – число ветвей, содержащих источники тока.

В схеме (рисунок 14) направление эквивалентной ЭДС выбрано совпадающим с направлением тока. В этом случае знаки слагаемых в числителе формулы (10) можно определить по правилу: если направление ЭДС (источника тока) в исходной ветви совпадает с выбранным направлением эквивалентной ЭДС, то в числителе выражения (10) перед соответствующим слагаемым ставится знак плюс, иначе – минус.

Так для схемы (рисунок 14) имеем:

Эквивалентные преобразования активных треугольника и звезды.

Рисунок 15

При преобразовании треугольник-звезда в ветвях эквивалентной звезды содержатся как пассивные элементы (сопротивления), так и активные (источники ЭДС). Величины эквивалентных ЭДС определяют из условия равенства разности потенциалов между соответствующими узлами до и после преобразования при полном отключении преобразуемого участка от остальной части цепи (рисунок 15). В этом случае во всех ветвях треугольника течёт ток, а в ветвях звезды токи отсутствуют.

(11)

Запишем второй закон Кирхгофа для ветви R₁₂ , E₁₂ треугольника:

и для звезды

Поскольку величины напряжений U₁₂ в обеих схемах должны быть одинаковыми, получим

(12)

Аналогично для остальных ветвей имеем

(13)

(14)

Выражения (11) – (14) дают возможность определять величины эквивалентных ЭДС.

При переходе от треугольника к эквивалентной звезде с целью упрощения решаемой задачи величина ЭДС в одной из ветвей звезды может быть выбрана произвольно. Пусть, например, Е₃ = 0, тогда из выражений (13), (14) получим:

При переходе от звезды к эквивалентному треугольнику в качестве дополнительного условия можно принять

Тогда и из выражений (12) - (14) получим

Величины эквивалентных сопротивлений звезды и треугольника определяются по формулам (1)-(6). Рассмотрим, например схему (рисунок 16), которая при помощи преобразования звезды с ветвями (R₁, Е₁), (R₂, E₂), (R₃, Е₃) в эквивалентный треугольник получает вид, представленный на рисунке 17.

Рисунок 16

Рисунок 17

Выберем в качестве дополнительного условия

Тогда

Рассмотрим преобразование треугольника 1 2 3 (рисунок 16) в эквивалентную звезду, для чего выделим его из цепи (рисунок 18а).

Ток треугольника

Напряжения между узлами треугольника и звезды:

а) б)

Рисунок 18

Принимаем для упрощения , тогда:

В итоге схема (рисунок 16) принимает вид, представленный на рисунке 19.

Рисунок 19