Основные свойства предела числовой последовательности.

1. Если числовая последовательность имеет предел, то он единственный.

2. Если числовая последовательность имеет предел, то она ограничена.

3. Если числовая последовательность является монотонной и ограниченной, то она имеет предел.

4. Постоянная числовая последовательность, члены которой равны , сходится к этому числу: .

5. Пусть общие члены трехчисловых последовательностей , и удовлетворяют условию , . Тогда если и , то .

6. Для того чтобы числовая последовательность имела предел , необходимо и достаточно, чтобы , где – бесконечно малая последовательность ( ).

Операции над пределами числовых последовательностей.

1. Предел суммы (разности) двух сходящихся числовых последовательностей равен сумме (разности) их пределов:

.

2. Предел произведения двух сходящихся числовых последовательностей равен произведению их пределов:

.

В частности:

– постоянный множитель можно выносить за знак предела:

;

– предел натуральной степени от сходящейся последовательности равен этой степени от ее предела:

3. Предел частного двух сходящихся числовых последовательностей равен частному их пределов:

4. Предел корня -й степени от сходящейся числовой последовательности равен корню этой же степени от предела числовой последовательности:

Свойства бесконечно малых числовых последовательностей.

1. Сумма (разность) двух бесконечно малых числовых последовательностей также является бесконечно малой числовой последовательностью.

2. Произведение двух бесконечно малых числовых последовательностей также является бесконечно малой числовой последовательностью.

3. Произведение бесконечно малой числовой последовательности на ограниченную числовую последовательность является бесконечно малой числовой последовательностью.

4. Если числовая последовательность является бесконечно малой, то числовая последовательность является бесконечно большой. Верно и обратное утверждение.

Пример 3.4. Доказать, что .

Решение: Число будет пределом числовой последовательности , если, по определению 3.6,для любого найдется такое натуральное число , что для всех выполняется неравенство . После подстановки общего члена числовой последовательности это неравенство примет вид или . Отсюда следует, что оно выполняется для всех , т.е. для всех , где – целая часть числа (целая часть числа , обозначаемая , есть наибольшее целое число, не превосходящее ; так , , ). Если , то в качестве можно взять . Таким образом, действительно, для любого нашлось такое натуральное число , что для всех выполняется неравенство . Это и означает, что .

Пример 3.5. Доказать, что числовая последовательность – бесконечно малая, и найти такой номер , что для всех справедливо неравенство .

Решение: По определению бесконечно малой числовой последовательности, необходимо показать, что предел данной числовой последовательности равен нулю, т. е. что для любого найдется такое натуральное число , что для всех выполняется неравенство , т.е. . Оно справедливо для всех , т.е. для всех . Если , то в качестве можно взять . Таким образом, для любого нашлось соответствующее значение . Поэтому предел данной числовой последовательности равен нулю, что и доказывает, что она является бесконечно малой. И, в частности, при находим, что , так что для всех справедливо неравенство .

Примеры 3.6. Вычислить пределы числовых последовательностей:

1) .

Решение: Преобразуем выражение для числовой последовательности, разделив его числитель и знаменатель на в старшей степени, т.е. на , и воспользуемся теоремами об операциях над пределами:

В последних равенствах воспользовались тем, что предел константы – константа, а также тем, что числовые последовательности и бесконечно малые. Окончательно, .

2) .

Решение: Поделим числитель и знаменатель дроби на в старшей степени, т.е. на , и воспользуемся теоремами об операциях над пределами:

.

В последнем равенстве воспользовались тем, что оба слагаемых в знаменателе, т.е. и , есть бесконечно малые числовые последовательности, следовательно, вся дробь – бесконечно большая числовая последовательность. Таким образом, .

3) .

Решение: Умножим и поделим выражение для числовой последовательности на сопряженное к нему выражение, и затем воспользуемся известной формулой разности квадратов:

В последнем равенстве воспользовались тем, что числовая последовательность бесконечно большая, а значит, числовая последовательность есть бесконечно малая. Таким образом, .

4) .

Решение: Поделим числитель и знаменатель дроби на и воспользуемся теоремами об операциях над пределами:

.

В последних равенствах воспользовались тем, что предел константы – константа и что числовая последовательность есть бесконечно малая. Таким образом, .