Неявная функция.
Формула определяет явный способ задания функции. Однако во многих случаях приходится использовать неявный способ задания функции.
Определение
2.17. Пусть
функция определена на множестве
.
Тогда, если каждое значение
и соответствующее ему значение функции
удовлетворяют некоторому (одному и тому
же) уравнению
,
то говорят, что эта функция
задана неявно уравнением
.
Сама функция в этом случае называется
неявной
функцией.
Пример 2.13. Примеры неявных функций:
а)
;
б)
;
в)
.
Определение 2.18. Графиком неявной функции, заданной уравнением , называется множество всех точек координатной плоскости , координаты которых удовлетворяют этому уравнению.
Функция, заданная параметрически.
Формула также определяет непосредственную функциональную зависимость от . Однако в некоторых случаях приходится использовать так называемое параметрическое представление функции.
Определение 2.19. Функцией,заданной параметрически, называется функция, у которой каждый аргумент зависит от некоторого параметра. Общий вид функции, заданной параметрически:
где
функции
и
определены на некотором множестве
.
Переменную
называют параметром.
Пример 2.14. Примеры функций, заданных параметрически:
а)
б)
в)
Определение
2.20. Пусть
на некотором множестве
заданы две функции
и
.
Тогда множество всех точек на плоскости
с координатами
,
где
,
называется кривой
(или линией), заданной
параметрически.
Задания для самостоятельной работыпо теме «Функция».
Задание 1. Найти области определения следующих функций:
1.1. |
1.2.
|
1.3.
|
1.4.
|
1.5.
|
1.6.
|
1.7.
|
1.8.
|
1.9.
|
1.10.
|
1.11.
|
1.12.
|
1.13.
|
1.14. |
1.15.
|
1.16.
|
1.17.
|
1.18. |
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.Задание 2. Найти области значений следующих функций:
2.1. |
2.2.
|
2.3.
|
2.4.
|
2.5.
|
2.6.
|
2.7.
|
2.8.
|
2.9.
|
2.10.
|
2.11.
|
2.12.
|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Задание
3. Для
функции
найти:
3.1. |
3.2.
|
3.3.
|
3.4.
|
3.5.
|
3.6.
|
3.7.
|
3.8.
|
3.9.
|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Задание
4. Для
функции
найти:
4.1. |
4.2.
|
4.3.
|
4.4. . |
4.5.
|
4.6. . |
4.7.
|
4.8.
|
4.9.
|
.
.
.
.
.
.
.Задание 5. Какие из следующих функций являются четными, какие нечетными, а какие общего вида:
5.1.
|
5.2.
|
5.3.
|
5.4.
|
5.5.
|
5.6. |
5.7.
|
5.8.
|
5.9. |
5.10.
|
5.11.
|
5.12.
|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Задание 6. Исследовать данную функцию на периодичность:
6.1.
|
6.2.
|
6.3.
|
6.4. |
6.5.
|
6.6.
|
6.7.
|
6.8.
|
6.9. |
.
.
.
.
.
.
.
.
Задание 7. Построить графики следующих функций:
7.1.
|
7.2.
|
7.3.
|
7.4.
|
7.5.
|
7.6. . |
7.7.
|
7.8.
|
7.9.
|
7.10.
|
7.11.
|
7.12.
|
7.13.
|
7.14.
|
7.15.
|
7.16.
|
7.17.
|
7.18.
|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Задание
8.
Найти сложные функции
,
если
8.1.
|
8.2.
|
8.3.
|
8.4.
|
8.5.
|
8.6.
|
8.7.
|
8.8.
|
.
.
.
.
.
.
.
.
Задание 9. Найти функции, обратные данным.
9.1.
|
9.2.
|
9.3.
|
9.4.
|
9.5.
|
9.6.
|
9.7.
|
9.8.
|
9.9.
|
9.10.
|
9.11.
|
9.12.
|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.Задание 10. Выяснить, какие из данных функций являются монотонными, какие – строго монотонными, а какие – ограниченными:
10.1.
|
10.2.
|
10.3.
|
10.4.
|
10.5.
|
10.6.
|
10.7.
|
10.8. . |
10.9.
|
.
.
.
.
.
.
.
.Задание 11. Выразить данную функцию в явном виде (если возможно):
11.1. . |
11.2.
|
11.3.
|
11.4.
|
11.5.
|
11.6.
|
11.7.
|
11.8.
|
11.9.
|
.
.
.
.
.
.
.
.
Задание
12. Кривая
задана параметрически
1)
Найти точки на графике при
.
2)
Какие из точек лежат на этой кривой:
?
Задание 13. Исключив параметр , явно выразить функцию :
13.1.
|
13.2.
|
13.3.
|
13.4. |
13.5. |
13.6. |
