Обратная функция.
Определение
2.10. Пусть
задана функция
с областью определения
и областью значений
.
Если каждому значению
соответствует
единственное значение
,
то определена функция
с областью определения
и областью значений
.
Такая функция
называется обратной
к функции
и записывается в следующем виде:
или
.
Про
функции
и
говорят, что они являются взаимно
обратными. Чтобы найти функцию
,
обратную к функции
,
достаточно решить уравнение
относительно
(если это возможно).
Пример
2.8. Для
функции
обратной функцией является функция
,
определенная на всей числовой прямой.
Для функции
,
заданной на отрезке
,
обратной функцией является функция
,
определенная соответственно на отрезке
.
Заметим, что для функции
,
заданной на отрезке
,
обратной функции не существует, т.к.
одному значению
соответствует два значения
(так, если
,
то
).
Сложная функция.
Определение
2.11. Пусть
функция
определена на множестве
,
а функция
на множестве
,
причем для любого
соответствующее значение
.
Тогда на множестве
определена функция
,
которая называется сложной
функцией
от
(или суперпозицией
заданных функций, или функцией
от функции).
Замечание 2.1. Переменную называют промежуточным аргументом сложной функции. Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.
Пример
2.9. Функция
является суперпозицией двух функций
и
.
Функция
является суперпозицией трех функций
,
и
.
Основные элементарные функции и их графики.
Определение 2.12. Основными элементарными функциями называются следующие функции:
1.
Степенная
функция
– это функция вида
,
где
.
Частные случаи:
– если
,
то получаем так называемые рациональные
функции
;
– если
(где
– множество целых отрицательных чисел),
то получаем так называемые дробно-рациональные
функции
;
– если
,
т.е.
,то
получаем радикал
.
Примеры
графиков степенных функций, которые
соответствуют разным показателямстепени,
представлены на рис. 2.2.
Рис.
2.2.Графики функций
.
2.
Показательная
функция
– это функция вида
,
где
.
Графики показательных функций представлены
на рис. 2.3.
Рис.
2.3.Графики функций
и
.
Частный
случай: если
,
то получаем так называемую экспоненциальную
функцию (или экспоненту)
,
где число
3.
Логарифмическая
функция
– это функция вида
,
где
.
Графики логарифмических функций
представлены на рис. 2.4.
Рис.
2.4.Графики функций
и
.
Частные случаи:
– если
,
то получаем так называемый натуральный
логарифм
;
– если
,
то получаем так называемый десятичный
логарифм
.
4.
Тригонометрические
функции
– это функции
.
Графики тригонометрических функций
представлены на рис. 2.5.
Рис.
2.5.Графики функций
.
5.
Обратные
тригонометрические функции
– это функции
.
Графики обратных тригонометрических
функций представлены на рис. 2.6.
Рис.
2.6.Графики функций
.
Определение 2.13. Функции, полученные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и операции суперпозиции функций, называются элементарными.
Пример 2.10. Примеры элементарных функций:
а)
;
б)
.
Пример 2.11.Примеры неэлементарных функций:
а)
б)
Определение 2.14. Функция вида
,
где
– постоянные числа, называется
многочленом.
Число
называют степенью
многочлена.
Определение 2.15. Функция вида
,
где
– многочлены, называется рациональной
функцией.
Определение 2.16. Функции, построенные с помощью суперпозиции рациональных функций и степенных функций с рациональными показателями, называются иррациональными.
Пример 2.12. Примеры иррациональных функций:
а)
;
б)
.