Способы задания функции.

Для того чтобы задать функцию , необходимо указать определенное правило, по которому для каждого значения можно найти соответствующее значение . Различают аналитический, табличный и графическийспособы задания функции.

Аналитический способ:в этом случаефункция задается в виде одной или нескольких формул или уравнений.

Пример 2.1. Примеры аналитически заданных функций:

а) ; б) в) .

Табличный способ: в этом случае функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции. Например, известные таблицы значений тригонометрических функций, логарифмические таблицы. На практике часто приходится пользоваться таблицами значений функций, полученных в ходе наблюдений или эксперимента.

Графический способ: задается график функции. Преимуществом графического способа является его наглядность, недостатком – его неточность.

Примеры 2.2. Найти область определения функций:

1) .

Решение: Функция определена, если подкоренное выражение неотрицательно, т.е. . Решая неравенство, получаем, что , значит, .

2) .

Решение: Дробь определена, если ее знаменатель не равен нулю. Поэтому область определения данной функции находится из условия , т.е. и . Таким образом, .

3) .

Решение: Функция определена при всех действительных значениях , поэтому функция определена в точности при тех значениях, при которых имеет смысл выражение , т.е. при .

Далее, область определения второго слагаемого находим из двойного неравенства . Отсюда , т .е. .

Область определения функции есть пересечение областей определения обоих слагаемых, откуда .

Примеры 2.3. Найти область значений функций:

1) .

Решение: Так как , а для всех значений , то для всех . Поскольку к тому же функция принимает все значения от 0 до , то .

2) .

Решение: , поэтому область значений функции совпадает с областью значений функции при . Тогда .

3) .

Решение: , откуда . Так как , то .

Основные характеристики функции.

Определение 2.5. Функция , определенная на множестве , называется четной, если для любого выполняются условия и ; нечетной, если для любого выполняются условия и .

График четной функции симметричен относительно оси , график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Пример 2.4. Функции и – четные функции; и – нечетные функции; и – функции общего вида, т.е. не четные и не нечетные.

Определение 2.6. Пусть функция определена на множестве и , причем . Тогда если , то функция называется возрастающей на множестве ; если , то функция называется неубывающей на множестве ; если , то функция называется убывающей на множестве ; если , то функция называется невозрастающей на множестве .

Определение 2.7. Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие функции на множестве называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие – строго монотонными. Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервалами монотонности.

Пример 2.5. Функция – возрастающая функция при , а функция убывает при и возрастает при .

Определение 2.8. Функция , определенная на множестве , называется ограниченной на этом множестве, если существует такое число , что для всех выполняется неравенство .

Пример 2.6. Функции и ограничены на всей числовой прямой, т.к. и для всех .

Определение 2.9. Функция , определенная на множестве , называется периодической на этом множестве, если существует такое число , что при каждом выполняются условия и . При этом число называется периодом функции.

Пример 2.7. Функции и – периодические функции с периодом ; и – периодические функции с периодом .