Тема19. Интегрирование иррациональных функций. Различные приемы интегрирования иррациональных функций.
1) Если корни в подынтегральном выражении имеют вид ,
то
с помощью подстановки
,
где
− наименьшее общее кратное показателей
корней, т.е. чисел
,
подынтегральное выражение преобразуется
в рациональную дробь.
2)
Интегралы вида
преобразуются в интегралы от рациональных
дробей с помощью подстановки
.
3)
Интегралы вида
рационализируются
с помощью подстановки
.
4) Интегралы вида
а)
,б)
,в)
интегрируются с помощью тригонометрических подстановок:
а)
или
,
б)
или
,
в)
или
.
Примеры 19. Вычислить интегралы:
1)
.
Решение:
Здесь
входит в подынтегральную функцию с
показателями корней 2 и 3. Поэтому
применяем подстановку
,
откуда
.
Получился интеграл от рациональной дроби. Выделяем целую часть:
.
Для нахождения последнего интеграла разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби:
,
откуда
.
Приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях
,
находим
Следовательно,
2)
,
Решение:
Полагая
,
имеем
где
.
3)
.
Решение:
Положим
,
откуда
,
.
Следовательно,
.
Для вычисления полученного интеграла представим подынтегральную дробь в виде
.
Таким образом,
где
.
4)
.
Решение:
Положим
.
Тогда
,
.
Имеем
Так
как
,
то
,
.
Поэтому
5)
.
Решение:
Полагаем
.
Откуда
,
.
Следовательно,
Задания для самостоятельной работы по теме «Интегрирование иррациональных функций».
Задание. Вычислить следующие интегралы:
19.1.
|
19.2.
|
19.3.
|
19.4.
|
19.5.
|
19.6.
|
19.7.
|
19.8.
|
19.9.
|
19.10.
|
19.11.
|
19.12.
|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Ответы к заданиям для самостоятельной работы.
Тема 1. Множества.
1.1.
;
;
;
.1.2.
;
;
;
.1.3.
;
;
;
.1.4.
;
;
;
.
1.5.
;
;
;
.
1.6.
;
;
;
.
Тема 2. Функция.
1.1.
.
1.2.
.
1.3.
.
1.4.
.
1.5.
.1.6.
.1.7.
.
1.8.
.
1.9.
.
1.10.
.1.11.
.
1.12.
.
1.13.
.
1.14.
.1.15.
.
1.16.
.
1.17.
.
1.18.
.2.1.
.
2.2.
.
2.3.
.
2.4.
.2.5.
.
2.6.
.
2.7.
.
2.8.
.
2.9.
.2.10.
.
2.11.
.
2.12.
.3.1.
.
3.2.
.
3.3.
.
3.4.
.
3.5.
.
3.6.
.3.7.
.
3.8.
.
3.9.
.4.1.
2. 4.2.
.4.3.
.
4.4.
.
4.5.
.4.6.
.4.7.
.
4.8.
.
4.9.
.5.1.
Нечетная. 5.2.
Четная.5.3.
Общего вида.5.4.Нечетная.5.5.
Четная.5.6.
Нечетная.5.7.Общего
вида. 5.8.
Нечетная. 5.9.
Общего вида. 5.10.
Нечетная.5.11.
Общего вида.5.12.
Общего вида.6.1.
Периодическая,
.6.2.
Периодическая,
.
6.3.
Периодическая,
.
6.4.
Периодическая,
.6.5.
Непериодическая.6.6.
Непериодическая.6.7.
Периодическая,
.6.8.
Непериодическая. 6.9.
Периодическая,
.8.1.
.
8.2.
.8.3.
.
8.4.
.
8.5.
.8.6.
.
8.7.
.
8.8.
.
9.1.
.
9.2.
.
9.3.
.
9.4.
.9.5.
.
9.6.
.9.7.
.9.8.
.
9.9.
.9.10.
.
9.11.
.9.12.
.10.1.
Монотонная
и ограниченная. 10.2.Ограниченная.
10.3.Строго
монотонная и ограниченная. 10.4.
Ни монотонная, ни строго монотонная, ни
ограниченная.10.5.
Строго монотонная. 10.6.
Ограниченная. 10.7.
Строго монотонная.10.8.
Ограниченная. 10.9.
Ни монотонная, ни строго монотонная, ни
ограниченная.11.1.
.11.2.
.
11.3.
.
11.4.
.11.5.
Невозможно выразить функцию в явном
виде. 11.6.
.
11.7.
.
11.8.
.
11.9.
Невозможно выразить функцию в явном
виде.12.
1)
;
2) Точки
и
.13.1.
.13.2.
.
13.3.
.13.4.
.
13.5.
.
13.6.
.14.1.
0.14.2.
1.14.3.
0. 14.4.
.
14.5.
.
14.6.
.