Задания для самостоятельной работы по теме «Интегрирование рациональных дробей».
Задание. Найти интегралы от рациональных дробей:
17.1.
|
17.2.
|
17.3.
|
17.4.
|
17.5.
|
17.6.
|
17.7.
|
17.8.
|
17.9.
|
17.10.
|
17.11.
|
17.12.
|
.
.
.
.
.
.
.
.
.Тема18. Интегрирование тригонометрических функций. Различные приемы интегрирования тригонометрических функций.
1)
Интегралы вида
,где
и
− целые числа.
Рассмотрим следующие случаи:
а)
Если
− нечетное число, то применяется
подстановка
;
если
− нечетное число, то применяется
подстановка
.
б) Если и − четные неотрицательные числа, то подынтегральное выражение преобразуют с помощью формул понижения степени:
,
,
.
в)
Если
и
− либо оба четные, либо оба нечетные,
причем хотя бы один из них отрицателен,
то применяют подстановку
.
2)
Интегралы вида
,
где
− рациональная функция.
С
помощью универсальной
тригонометрической подстановки
,
откуда
,
,
,
интегралы рассматриваемого вида
приводятся к интегралам от рациональных
алгебраических функций.
3)
Интегралы вида
,
,
.
Такие интегралы легко вычисляются, если применить следующие тригонометрические формулы:
,
,
.
Примеры 18. Вычислить интегралы:
1)
.
Решение:Применим
подстановку
и воспользуемся формулой
.
Тогда
2)
.
Решение:
Воспользуемся подстановкой
.
Имеем
3)
.
Решение: Подынтегральная функция нечетна относительно синуса, поэтому сделаем подстановку . Тогда
4)
.
Решение: Используя формулы понижения степени, получим
5)
.
Решение:
В данном случае применим подстановку
и формулу
.
Тогда
6)
,
Решение: Представим числитель по формуле и разделим почленно числитель на знаменатель, получим
.
Для нахождения первого интеграла воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой , имеем
Для
нахождения второго интеграла воспользуемся
методом интегрирования по частям.
Полагая
,
,
имеем
,
.
Следовательно,
Итак, находим искомый интеграл
7)
,
Решение: Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой . Имеем
.
8)
.
Решение: Воспользуемся тригонометрической формулой преобразования произведения в сумму, получим
Задания для самостоятельной работы по теме «Интегрирование тригонометрических функций».
Задание. Вычислить следующие интегралы:
18.1.
|
18.2.
|
18.3.
|
18.4.
|
18.5.
|
18.6.
|
18.7.
|
18.8. |
18.9. |
18.10.
|
18.11.
|
18.12.
|
18.13.
|
18.14.
|
18.15.
|
18.16.
|
18.17. |
18.18. |
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.