Тема15.Интегрирование по частям. Формула интегрирования по частям.
Если
и
− дифференцируемые функции, то справедливо
.
Данная
формула называется формулой
интегрирования по частям.
Она дает возможность свести вычисление
интеграла
к вычислению интеграла
,
который оказывается более простым.
При нахождении интегралов типа
,
,
за
следует принять многочлен
,
а за
− соответственно выражения
,
,
;
при отыскании интегралов вида
,
,
,
,
за
принимаются соответственно функции
,
,
,
,
,
а за
− выражение
.
Примеры 15. Вычислить интегралы:
1)
.
Решение: Воспользуемся формулой интегрирования по частям:
.
2)
.
Решение: Воспользуемся формулой интегрирования по частям:
.
3)
.
Решение: Воспользуемся формулой интегрирования по частям:
.
4)
.
Решение: Воспользуемся формулой интегрирования по частям, получим:
.
К последнему интегралу снова применим формулу интегрирования по частям:
.
Подставляя найденное выражение в первоначальное выражение, имеем
.
5)
.
Решение: Воспользуемся формулой интегрирования по частям:
.
Последний интеграл сновапроинтегрируем раз по частям:
.
Таким образом,
.
В правой части последнего соотношения стоит искомый интеграл . Перенося его в левую часть, получим
.
Откуда
.
Задания для самостоятельной работы по теме «Интегрирование по частям».
Задание. Проинтегрировать по частям следующие интегралы:
15.1.
|
15.2.
|
15.3.
|
15.4.
|
15.5.
|
15.6.
|
15.7.
|
15.8.
|
15.9.
|
15.10.
|
15.11.
|
15.12.
|
15.13.
|
15.14.
|
15.15.
|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Тема16. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен. Различные приемы интегрирования квадратных трехчленов.
1.
Интегралы вида
.
Основной прием вычисления таких интегралов − выделение полного квадрата из квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе, и разложение полученного интеграла на сумму двух интегралов.
2.
Интегралы вида
.
Прием вычисления таких интегралов тот же – следует выделить полный квадрат из квадратного трехчлена подкоренного выражения и разложить на сумму двух интегралов.
Примеры 16. Вычислить интегралы:
1)
.
Решение:Выделим из квадратного трехчлена полный квадрат:
.
Отсюда находим
.
2)
.
Решение: Выделяем полный квадрат из квадратного трехчлена, получаем
.
Следовательно,
.
3)
.
Решение: Выделяя полный квадрат из квадратного трехчлена, имеем
.
Отсюда получаем
.
4)
.
Решение: Сначала выделим полный квадрат из квадратного трехчлена
.
Таким образом,
.
Задания для самостоятельной работы по теме «Интегрирование функций, сордержащих квадратный трехчлен».
Задание. Вычислить следующие интегралы:
16.1.
|
16.2.
|
16.3.
|
16.4.
|
16.5.
|
16.6.
|
16.7.
|
16.8.
|
16.9.
|
16.10.
|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.