Метод непосредственного интегрирования.
Метод непосредственного интегрирования основан на приведении вычисляемого интеграла к одному из табличных интегралов путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения основных свойств неопределенного интеграла.
Примеры 13. Вычислить интегралы:
1)
.
Решение: Разделим почленно числитель на знаменатель. В результате подынтегральная функция разложится на слагаемые, каждое из которых можно проинтегрировать, используя основные свойства неопределенного интеграла:
2)
.
Решение: Выделим целую часть в подынтегральной дроби путем прибавления и вычитания в числителе числа 4, в результате получим
3)
.
Решение: Раскроем квадрат разности в подынтегральной функции и проинтегрируем каждое слагаемое, имеем
.
4)
.
Решение: В данном примере воспользуемся известной тригонометрической формулой
.
В результате получим
.
5)
.
Решение:
Воспользуемся свойством 6 неопределенного
интеграла, где
,
имеем
.
Задания для самостоятельной работыпо теме «Первообразная функции. Неопределенный интеграл».
Задание. Методом непосредственного интегрирования найти следующие интегралы:
13.1. |
13.2.
|
13.3.
|
13.4.
|
13.5. |
13.6.
|
13.7.
|
13.8.
|
13.9.
|
13.10.
|
13.11.
|
13.12.
|
13.13.
|
13.14.
|
13.15.
|
13.16.
|
13.17.
|
13.18.
|
13.19.
|
13.20.
|
13.21.
|
13.22.
|
13.23.
|
13.24.
|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Тема14. Интегрирование методом подстановки. Замена переменной и подведение под знак дифференциала.
Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух типов:
1)
,
где
− новая переменная;
− непрерывно дифференцируемая функция.
В этом случае формула замены переменной
имеет вид
.
Функцию
стараются выбрать таким образом, чтобы
правая часть формулы приобрела более
удобный для интегрирования вид.
2)
,
где
− новая переменная. Тогда формула замены
переменной приобретает вид
.
Такого рода преобразование называют подведением под знак дифференциала.
Примеры 14. Вычислить интегралы:
1)
.
Решение:
Данный интеграл окажется табличным,
если под знаком дифференциала будет
стоять аргумент
подынтегральной функции
.
Так как
,
то
.
2)
.
Решение:
Так как
,
то
.
3)
.
Решение:
Замечаем, что
.
Тогда
.
4)
.
Решение:
Поскольку
,
имеем
.
5)
.
Решение:
Применим подстановку
,
тогда
.
6)
.
Решение:
Используем подстановку
.
Следовательно, получим
Задания для самостоятельной работы по теме «Интегрирование методом подстановки».
Задание. Методом подстановки найти следующие интегралы:
14.1.
|
14.2.
|
14.3.
|
14.4.
|
14.5.
|
14.6.
|
14.7.
|
14.8.
|
14.9.
|
14.10.
|
14.11.
|
14.12.
|
14.13.
|
14.14.
|
14.15. |
14.16.
|
14.17. |
14.18.
|
14.19.
|
14.20.
|
14.21.
|
14.22.
|
14.23.
|
14.24.
|
14.25.
|
14.26.
|
14.27.
|
14.28. |
14.29.
|
14.30.
|
14.31.
|
14.32.
|
14.33.
|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.