Формула Тейлора.

Естественным обобщением последней формулы для функций, имеющих nпроизводных в некоторой окрестности точки (включая саму эту точку), является формула Тейлора:

где – остаточный член формулы Тейлора, в форме Лагранжа имеющий вид:

( – некоторая промежуточная точка между точками и ).

Пример 11.2. Проверить справедливость теоремы Лагранжа для функции на отрезке .

Решение: Функция определена и непрерывна на отрезке как элементарная функция. Найдем ее производную: , т.е. функция дифференцируема на интервале . Следовательно, теорема Лагранжа справедлива для функции на отрезке . Поэтому на интервале найдется по крайней мере одна точка , в которой

.

Решая данное уравнение относительно , получим .

Правило Лопиталя.

Простым приемом для раскрытия неопределенностей вида и при отыскании предела функций является правило Лопиталя (Гильом Лопиталь (1661-1704) – французский математик).

Теорема 11.1. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций и равен пределу отношения их производных, если последний существует, т.е.

.

Пример 11.3. Вычислить .

Решение: Подстановка предельного значения приводит к неопределенности вида . Предел отношения производных существует. Тогда

.

Замечание 11.2. Если и при , то отыскание предела (неопределенность вида ) может быть сведено к одному из ранее рассмотренных случаев или путем тождественных преобразований:

или .

Пример 11.4. Вычислить .

Решение: Подстановка предельного значения приводит к неопределенности вида . Преобразуем функцию так, чтобы получилась неопределенность вида : . Предел отношения производных существует. Тогда

.

Замечание 11.3. Если и при , тоотыскание предела (неопределенность вида ) может быть сведено к раскрытию неопределенности вида путем тождественных преобразований:

или .

Пример 11.5. Вычислить .

Решение: Подстановка предельного значения приводит к неопределенности вида . Преобразуем функцию так, чтобы получилась неопределенность вида : . Предел отношения производных существует. Тогда

Замечание 11.4. При отыскании предела функции вида могут возникнуть неопределенности вида . В этих случаях можно прийти к неопределенности вида путем следующих преобразований:

,

а в силу непрерывности показательной функции:

Пример 11.6. Вычислить .

Решение: Подстановка предельного значения приводит к неопределенности вида . Преобразуем исходный предел: , где

Тогда .

Задания для самостоятельной работыпо теме «Приложения дифференциального исчисления».

Задание 1. Найти приближенное значение:

1.1. .	1.2. .	1.3. .
1.4. .	1.5. .	1.6. .

Задание 2. Вывести приближенную формулу (при условии, что мало по сравнению с ): .

Задание 3. Используя теорему Ролля, доказать, что для многочлена на интервале найдется корень уравнения .

Задание 4. Получить разложение основных элементарных функций в окрестности точки 0:

4.1. .

4.2. .

4.3. .

4.4. .

Задание 5. Используя разложение соответствующей функции из задания 4, вычислить приближенное значение с точностью до 0,001:

4.1. .

4.2. .

4.3. .

4.4. .

Задание 6. Вычислить пределы следующих функций, используя правило Лопиталя:

6.1. .	6.2. .	6.3. .
6.4.	6.5. .	6.6. .
6.7.	6.8. .	6.9. .
6.10.	6.11. .	6.12. .
6.13.	6.14. .	6.15. .
6.16. .	6.17. .	6.18. .