Дифференциалы высших порядков.

Дифференциал функции является функцией от :

поэтому можно говорить о дифференциале уже этой новой функции.Дифференциал от дифференциала функции называется дифференциаломвторого порядка (или вторым дифференциалом)этой функции и обозначается следующим образом и т.д.

Определение 10.3. Дифференциалом -го порядка называется дифференциал от дифференциала -го порядка, т.е.

.

Пример 10.3. Найти дифференциал второго порядка от функции .

Решение: Вторая производная заданной функции (см. пример 10.1): .Тогда второй дифференциал, по определению, равен .

Задания для самостоятельной работыпо теме

«Производные и дифференциалы высших порядков».

Задание 1. Найти производные и дифференциалы указанного порядка:

1.1. , второй порядок.	1.2. , второй порядок.
1.3. , второй порядок.	1.4. , третий порядок.
1.5. , четвертый порядок.	1.6. , третий порядок.

Задание 2. Найти производные и дифференциалы -го порядка:

2.1. .	2.2. .	2.3. .
2.4. .	2.5. .	2.6. .

Задание 3. Найти производные и дифференциалы второго порядка:

3.1. .	3.2. .	3.3. .
3.4. .	3.5. .	3.6. .
3.7. .	3.8. .	3.9. .
3.10. .	3.11. .	3.12. .
3.13. .	3.14. .	3.15. .
3.16.	3.17.	3.18.

Задание 4. Точка движется попрямой, причем расстояние точки от начала отсчета, измеряемое в метрах, определяется по формуле , где – время, измеряемое в секундах. Определить ускорение движения точки в конце второй секунды.

Задание 5. Точка массы совершает гармоническое колебание около положения равновесияО по закону , где – расстояние точки от О в момент времени t; – постоянные. Показать, что действующая сила пропорциональна расстоянию точки от О.

Тема 11. Приложения дифференциального исчисления. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

Определение 11.1. Дифференциал функции и ее приращение связаны соотношением

где при .

Поэтому при малых ( ) имеет место следующее приближенное равенство:

или

Это соотношение часто используется в приближенных вычислениях.

Пример 11.1. Найти приближенное значение .

Решение: В данном случае , .

1)

2)

Теоремы о среднем дифференциального исчисления.

1. Теорема Ролля. Если функция :

1)непрерывна на отрезке ,

2)дифференцируема на интервале ,

3) ,

то найдется по крайней мере одна точка на интервале , в которой .

2. Теорема Лагранжа. Если функция :

1. непрерывна на отрезке ,

2. дифференцируема на интервале ,

то на интервале найдется по крайней мере одна точка , в которой

.

3. Теорема Коши. Если две функции и :

1. непрерывны на отрезке ,

2. дифференцируемы на интервале ,

3. на интервале ,

то на интервале найдется по крайней мере одна точка , в которой

.

Замечание 11.1. Формулу из теоремы Лагранжа иногда, обозначая , записывают в следующем виде:

.