Множества и операции над ними.

Определение 1.1. Под множеством понимается совокупность объектов, которые объединены по какому-то признаку. Так, можно говорить о множестве студентов в группе, о множестве букв алфавита, о множестве корней квадратного уравнения, о множестве натуральных чисел и т.д. Под элементами множества понимают объекты, из которых состоит это множество. Множества обозначают заглавными буквами латинского алфавита , а их элементы – малыми буквами

Элемент , принадлежащий множеству , записывается следующим образом . В противном случае для указания, что элемент не принадлежит множеству , используется запись .

Определение 1.2. Множество называется пустым, если оно не содержит ни одного элемента. Обозначается символом .

Элементы множества записывают в фигурных скобках, внутри которых они перечислены (если это возможно), либо указано общее свойство, которым обладают все элементы данного множества. Так, запись означает, что множество состоит из трех чисел 1, 4 и 9; запись означает, что множество состоит из всех действительных (если не оговорено иное) чисел, удовлетворяющих неравенству .

Множества подразделяются на конечные и бесконечныемножества. Множество, число элементов которого конечно, называется конечным. В противном случае множествоназывается бесконечным.

Определение 1.3. Множество называется подмножеством множества , если каждый элемент множества является элементом множества . Символически это обозначают так: («множество включено во множество »).

Определение 1.4. Множества и равны, если они состоят из одинаковых элементов. Обозначается .

Над множествами возможны следующие основные операции.

Определение 1.5. Объединением (или суммой) множеств и называется множествовсех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств или . Обозначается .

Пример 1.1. Если и , то .

Определение 1.6.Пересечением (или произведением) множеств и называется множествовсех элементов, принадлежащих каждому из множеств и . Обозначается .

Пример 1.2. Если и , то .

Определение 1.7.Разностью множеств и называется множество всех элементов, принадлежащих множеству и не принадлежащих множеству . Обозначается .

Пример 1.3. Если и , то , а .

Числовые множества.

Определение 1.8. Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми.

Примерами числовых множеств являются:

– множество натуральных чисел;

– множество целых чисел;

– множество рациональных чисел;

– множество иррациональных чисел;

– множество действительных чисел;

– множество комплексных чисел.

Между этими множествами существует соотношение

.

Множество состоит из рациональных и иррациональных чисел. Любое рациональное число может быть выражено либо конечной десятичной дробью , либо бесконечной периодической дробью .

Действительные числа, которые не являются рациональными, называются иррациональными. Иррациональное число выражается бесконечной непериодической дробью. Так, и – иррациональные числа.

Все действительные числа геометрически можно изобразитьточками так называемойчисловой прямой (или числовой оси), т.е. прямой, у которой выбраны начало отсчета, положительное направление и единица масштаба.

Рис. 1.1. Числовая прямая с отмеченным полуинтервалом  .

Между множеством действительных чисел и множеством всех точек числовой прямой существует взаимно-однозначное соответствие, т.е. каждому действительному числу соответствует единственная точка на числовой прямой и, наоборот, каждой точке на числовой прямой соответствует единственное действительное число.