Тема 9. Дифференциал функции. Понятие дифференциала.

Определение 9.1. Дифференциалом функции называется произведение производной этой функции на приращение независимого переменного, т.е

.

Поскольку дифференциал независимой переменной совпадает с ее приращением ( ), то

.

Таким образом, для того чтобы найти дифференциал функции, необходимо умножить производную этой функции на дифференциал ее независимой переменной.

Основные правила нахождения дифференциалов.

1) Дифференциал суммы (разности) двух дифференцируемых функций равен сумме (разности) дифференциалов этих функций:

.

2) Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций равен сумме произведений дифференциала первого сомножителя на второй и дифференциала второго сомножителя на первый:

.

3) Дифференциал частного двух дифференцируемых функций может быть найден по формуле:

.

4) Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала:

.

Пример 9.1. Найти дифференциал функции

а) по определению;

б) используя правила нахождения дифференциала.

Решение:

а)Находим производную от заданной функции:

.

Тогда по определению дифференциала: .

б) Находим непосредственно дифференциал, используя правила нахождения дифференциалов (1 и 4):

.

Задания для самостоятельной работыпо теме «Дифференциал функции».

Задание 1. Найти дифференциалы следующих функций по определению:

1.1. .	1.2. .	1.3. .
1.4. .	1.5. .	1.6. .
1.7. .	1.8. .	1.9. .
1.10. .	1.11. .	1.12. .
1.13. .	1.14. .	1.15. .
1.16.	1.17.	1.18.

Задание 2. Найти дифференциалы следующих функций, используя правила нахождения дифференциала:

2.1. .	2.2. .	2.3. .
2.4. .	2.5.	2.6. .
2.7. .	2.8. .	2.9. .
2.10. .	2.11. .	2.12. .
2.13. .	2.14. .	2.15. .

Тема 10. Производные и дифференциалы высших порядков. Производные высших порядков.

Производная дифференцируемой функции , которую называютпроизводной первого порядка, представляет собой некоторую новую функцию. Может оказаться так, что эта функция сама имеет производную. Тогда производная от производной первого порядка называется производной второгo порядка (или второй производной)и обозначается следующим образом: или . Аналогично, если существует производная от производной второго порядка, она называется производной третьего порядка (или третьей производной)и обозначается так: или и т.д.

Определение 10.1. Производная от производной -гопорядка называется производной -го порядкаи обозначается .

Определение 10.2. Функция называется непрерывно дифференцируемой n раз, если существуют все ее производные до -гопорядка включительно и эти производные непрерывны.

Пример 10.1. Вычислить производную второго порядка от функции .

Решение: Сначала найдем первую производную: . Вторая производная определяется как производной от первой производной, следовательно .

Замечание 10.1. Для нахождения второй производной функции , заданной параметрически

используют следующую формулу:

,где .

Пример 10.2. Найти вторую производную функции, заданной параметрически

Решение: Первая производная заданной функции (см. пример 8.8):

.

Тогда

.