Производная функции, заданной параметрически.

Определение 8.6. Переменная ,как функция аргумента , задана параметрически, если обе переменные и заданы как функции некоторой третьей переменной (параметр), т.е.

Предполагаем, что обе функции и дифференцируемы по параметру в рассматриваемом промежутке изменения этого параметра.

Для нахождения производной функции , заданной параметрически, используют формулу:

.

Пример 8.8. Найти производную функции, заданной параметрически .

Решение: Дифференцируем каждую функцию и по переменной :

, ,

откуда

.

Геометрический и физический смысл производной функции.

Геометрический смысл производной. Угловой коэффициент касательной к кривой в точке с абсциссой равен производной функции в этой точке, т.е.

.

Уравнение касательной к кривой в точке касания имеет вид:

.

Определение 8.7. Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной, называется нормалью к кривой в данной точке.

Уравнение нормали к кривой в точке касания имеет вид:

.

Пример 8.9. Найти уравнение касательной и нормали к кривой в точке .

Решение: Для того чтобы найти угловой коэффициент касательной, необходимо вычислить производную от заданной функции:

Значение производной в заданной точке Mи определяет искомый угловой коэффициент:

Уравнение касательной: или .

Уравнение нормали: или .

Физический смысл производной. Значение производной от функции в данной точке характеризует скорость изменения функции в этой точке по сравнению со скоростью возрастания независимого переменного, в частности, скорость прямолинейного движения есть производная от пути по времени , т.е.

,

а ускорение есть производная от скорости, т.е.

,

или вторая производная от пути, т.е.

.

Пример 8.10. Точка движется попрямой, причем расстояние точки от начала отсчета, измеряемое в метрах, определяется по формуле , где – время, измеряемое в секундах. Определить скорость движения точки в конце пятой секунды.

Решение: Используя физический смысл производной, находим, что скорость движения в любой момент времени определяется формулой а скорость движения в конце пятой секунды (м/с).

Задания для самостоятельной работыпо теме «Производная функции».

Задание 1. Используя определение производной, доказать справедливость следующих формул:

1.1. .	1.2. .	1.3. .
1.4. .	1.5. .	1.6. .
1.7. .	1.8. .	1.9. .
1.10. .	1.11. .	1.12. .
1.13. .	1.14. .	1.15. .

Задание 2. Найти производные следующих простых функций:

2.1.	2.2. .	2.3. .
2.4. .	2.5. .	2.6. .
2.7. .	2.8. .	2.9. .
2.10. .	2.11. .	2.12. .
2.13. .	2.14. .	2.15. .
2.16. .	2.17. .	2.18. .

Задание 3. Найти производные следующих сложных функций:

3.1. .	3.2. .	3.3. .
3.4. .	3.5. .	3.6. .
3.7. .	3.8. .	3.9. .
3.10.	3.11. .	3.12. .
3.13. .	3.14. .	3.15. .
3.16. .	3.17. .	3.18.

Задание 4. Найти производные функций, заданных неявно и параметрически:

4.1. .	4.2. .	4.3. .
4.4. .	4.5. .	4.6. .
4.7. .	4.8. .	4.9. .
4.10.	4.11.	4.12.
4.13.	4.14.	4.15.
4.16.	4.17.	4.18.

Задание 5. Найти значение производной функции в данной точке:

5.1 в точке .	5.2. в точке .
5.3. в точке .	5.4. в точке .
5.5. в точке .	5.6. в точке .

Задание 6. Найти уравнение касательной к кривой в точке M:

6.1. , .	6.2. , .
6.3. , .	6.4. , .
6.5. M при .	6.6. M при .

Задание 7. Найти уравнение нормали к кривой в точке M:

7.1. , .	7.2. , .
7.3. , .	7.4. , .
7.5. , Mпри .	7.6. M при .

Задание 8. Определить угол, под которым кривая пересекает ось абсцисс:

8.1. .	8.2. .	8.3. .
8.4. .	8.5. .	8.6. .

Задание 9. Точка движется попрямой, причем расстояние точки от начала отсчёта, измеряемое в метрах, определяется по формуле , где – время, измеряемое в секундах. Определить скорость движения точки в конце третьей секунды.

Задание 10. Путь, проходимый телом, свободно падающим в пустоте, определяется по формуле . При этом предполагается, что в начальный момент времени тело находится в начале отсчета и начальная скорость равна нулю; g – ускорение свободного падения. Вывести закон изменения скорости свободно падающего тела.

Задание 11. Радиус шара возрастает равномерно со скоростю 10 см/с. С какой скоростью растет объем шара в момент, когда радиус его составит 100 см?

Задание 12. На кривой найти точку, в которой ордината возрастает в четыре раза быстрее, чем абсцисса.

Задание 13. При каком значении xордината кривой будет возрастать в четыре раза быстрее, чем ордината кривой ?