Основные правила дифференцирования.
1) Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций:
.
2) Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведений производной первого сомножителя на второй и производной второго сомножителя на первый:
.
3) Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле:
.
4) Постоянный множитель можно выносить за знак производной:
.
Таблица производных.
1.
|
2.
|
3.
|
4. |
5.
|
6.
|
7.
|
8.
|
9.
|
10. |
11.
|
12. |
13. |
14.
|
15.
|
16.
|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Пример
8.2.
Найти производную функции
.
Решение: Используя правила дифференцирования (1 и 4) и таблицу производных, находим, что
.
Пример
8.3.
Найти производную функции
.
Решение: Используя правило дифференцирования (2) и таблицу производных, находим, что
.
Пример
8.4.
Найти производную функции
.
Решение: Используя правило дифференцирования (3) и таблицу производных, находим, что
Производная сложной функции.
Пусть
есть
функция от переменной
(
),
а
переменная
в
свою очередь есть функция от независимой
переменной
(
),
т.е. задана сложная функция
.
Функция
является внешней функцией, а функция
– внутренней.
Теорема 8.1. Если и – дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна произведению производной внешней функции на производную внутренней (или внутренних) функции, т.е.
.
Пример
8.5.
Найти производную функции
.
Решение:
Исходную
функцию можно представить в виде
,
где
.
Тогда, согласно теореме 8.1 о производной
сложной функции, будем иметь:
1)
;
2)
;
3)
.
Следовательно,
.
Логарифмическое дифференцирование.
Определение 8.4. Логарифмическое дифференцирование – это метод отыскания производной заданной функции путем предварительного ее логарифмирования.
Замечание
8.1. Этот
метод широко используется для нахождения
производной от фукции вида
,
где
и
– функции аргумента
.
Действительно, логарифмируя обе части
исходного равенства, получаем
.
Дифференцируя последнее соотношение, имеем
.
Умножая
обе части этого равенства на
и
заменяя затем
через
,
после простых преобразований окончательно
получаем, что
.
Пример
8.6.
Найти производную функции
.
Решение: Применим метод логарифмического дифференцирования:
Производная неявной функции.
Определение 8.5. Если как функция от задается посредством соотношения
,
где – выражение, содержащее и , то называется неявной функциейот .
Для
нахождения производной функции
,
заданной
неявно, нужно продифференцировать обе
части уравнения, рассматривая
как
функцию от
,
а
затем из полученного уравнения найти
производную
.
Пример
8.7.
Найти производную функции
,
которая задана
уравнением
.
Решение: Дифференцируем обе части равенства, рассматривая как функцию от :
.
Решаем полученное уравнение относительно :
;
;
.