Свойства функций, непрерывных на отрезке.

1. I теорема Больцано-Коши: Если функция непрерывна на отрезке и на концах отрезка имеет значения разных знаков, то существует хотя бы одна точка , в которой данная функция обращается в нуль: .

2. II теорема Больцано-Коши: Если функция непрерывна на отрезке и принимает на его концах значения и ( ), то найдется хотя бы одна внутренняя точка , что для любого числа выполняется равенство .

3. I теорема Вейерштрасса: Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.

4. II теорема Вейерштрасса: Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

Задания для самостоятельной работыпо теме «Непрерывность функции».

Задание 1. Пользуясь определением, доказать непрерывность функции в каждой точке :

1.1. .

1.2. .

1.3. .

Задание 2. Доказать, что функция не является непрерывной в определенной точке . Построить график функции .

2.1.	2.2.
2.3.	2.4.

Задание 3. Исследовать на непрерывность и построить график функции . Найти скачок функции в точках разрыва.

3.1.	3.2.
3.3.	3.4.
3.5.	3.6.

Задание 4. Исследовать на непрерывностьфункцию в точке :

4.1. .	4.2. .
4.3. .	4.4. .
4.5. .	4.6. .

Задание 5. Найти все точки разрыва данной функции :

5.1. .	5.2. .	5.3. .
5.4. .	5.5. .	5.6. .

Задание 6. Исследовать на непрерывность функцию на отрезке , если:

6.1. .

6.2. .

6.3. .

Задание 7. Исследовать на непрерывность функцию на отрезках , и , если:

7.1. .

7.2. .

7.3. .

Задание 8. При каком значении параметра функция будет непрерывной:

8.1.	8.2.
8.3.	8.4.

Тема 8. Производная функции. Понятие производной.

Пусть функция определена на интервале . Выберем произвольную точку из этого интервала и зададим значению приращение . Тогда функция получит соответствующее ему приращение .

Определение 8.1. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю (при условии, что этот предел существует), т.е.

.

Производная функции имеет несколько обозначений: .

Пример 8.1.Используя определение, доказать, что .

Решение: Найдем приращение функции в точке :

.

Тогда , где при (попервому замечательному пределу), (из-за непрерывности функции ). Таким образом, .

Определение 8.2. Операция отыскания производной данной функции называется дифференцированием этой функции.

Определение 8.3. Функция, имеющая в точке производную, называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках интервала , называется дифференцируемой на этом интервале.