Тема6. Эквивалентные бесконечно малые функции. Классификация бесконечно малых функций.

Определение 6.1. Пусть и – бесконечно малые функции при и известно, что . Тогда

1. Если , то бесконечно малые функции и называются эквивалентными при и пишут при .

2. Если и , то бесконечно малые функции и имеют одинаковый порядок малости.

3. Если , то бесконечно малая функция имеет более высокий порядок малости, чем функция .

4. Если , то бесконечно малая функция имеет более высокий порядок малости, чем функция .

5. Если данный предел не существует, то бесконечно малые функции и называются несравнимыми друг с другом при .

Замечание 6.1. Аналогичным образом можно сравнивать бесконечно малые функции и при .

Некоторые эквивалентные бесконечно малые функциипри :

Применение эквивалентных бесконечно малых функций.

Для упрощения вычисления некоторых пределов можно использовать следующую теорему, основанную на эквивалентности бесконечно малых функций.

Теорема 6.1. Пусть и , и – попарно эквивалентные бесконечно малые функции при , т.е. и при . Тогда если существует , то существует и , при этом выполняется равенство . Другими словами, предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если их заменить эквивалентными бесконечно малыми функциями. Сказанное справедливо и для эквивалентных бесконечно малых функций при .

Примеры 6.1. Найти пределы, используя эквивалентные бесконечно малые:

1) .

Решение: В данном примере имеем дело с отношением двух бесконечно малых функций: числитель и знаменательстремятся к нулю при . Поэтому для вычисления предела воспользуемся эквивалентностью бесконечно малых функций: и при . Тогда

.

2) .

Решение: В данном примере также имеем дело с отношением двух бесконечно малых функций: числитель и знаменательстремятся к нулюпри . Поэтомудля раскрытия неопределенности заменим числитель эквивалентной бесконечно малой функцией: , а знаменатель разложим на множители:

.

3) .

Решение: В данном примере снова имеем дело с отношением двух бесконечно малых функций: числитель и знаменательстремятся к нулюпри . Тогда для раскрытия неопределенности заменим числитель эквивалентной бесконечно малой функцией: и далее воспользуемся формулой разности квадратов:

.

Задания для самостоятельной работыпо теме «Эквивалентные бесконечно малые функции».

Задание 1. Найти следующие пределы:

1.1. .	1.2. .	1.3. .
1.4. .	1.5. .	1.6. .
1.7. .	1.8. .	1.9. .
1.10. .	1.11. .	1.12. .

Тема7. Непрерывность фунции. Понятие непрерывности функции.

Пусть функция определена в точке и в некоторой окрестности этой точки.

Определение 7.1. Функция называется непрерывнойв точке , если предел функции в этой точке равен значению функции в этой точке, т.е.

.

Таким образом, данное равенство и само понятие непрерывности подразумевают выполнение трех следующих условий:

1) функция определена в точке и в окрестности этой точки;

2) существует предел функции при ;

3) предел функции в точке равен значению функции в этой точке.

Невыполнение хотя бы одного из этих условий означает то, что функция не является непрерывной в точке .

Определение 7.2. Пусть функция определена в некотором интервале и – произвольная точка из этого интервала: . Для любого разность называется приращением аргумента в точке и обозначается : . Отсюда .

Определение 7.3. Разность соответствующих значений функции называется приращением функции в точке и обозначается (или или ): или .

Используя введенные понятия приращения аргумента и приращения функции, дадим второе определение функции, непрерывной в точке.

Определение 7.4. Функция называется непрерывнойв точке , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е.

.

Используя ранее введенные понятия левостороннего и правостороннего пределов функции, дадим, наконец, третье определение функции, непрерывной в точке.

Определение 7.5. Функция называется непрерывнойв точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки и выполняются следующие равенства:

.

Определение 7.6. Функция называется непрерывной в интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Определение 7.7. Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в интервале и в точке непрерывна справа (т.е. ), а в точке непрерывна справа (т.е. ).

Пример 7.2. Доказать, что функция непрерывна в произвольной точке .

Решение: Докажем непрерывность данной функции по определению. Пусть – приращение аргумента в произвольной точке . Вычислим соответствующее ему приращение функции:

Тогда, применяя теоремы о пределе суммы и произведения функций, получим:

Таким образом, , а это и означает по определению, что функция непрерывна в произвольной точке .

Пример 7.3. Доказать, что функция непрерывна в произвольной точке .

Решение: Докажем непрерывность данной функции снова по определению. Пусть – приращение аргумента в произвольной точке . Найдем соответствующее ему приращение функции:

.

Тогда

.

В последнем равенстве воспользовались тем, что произведение ограниченной функции и бесконечно малой функции является бесконечно малой функцией.Таким образом, по определению (7.2), функция непрерывна в произвольной точке множества .