Второй замечательный предел.

Определение 5.2. Второй замечательный предел– это предел вида

Данный предел часто используют при вычислении пределов выражений, в которых показатель степени стремится к бесконечности, а основание, за счет бесконечно малого второго слагаемого, стремится к единице, т.е. когда имеетместо неопределенность вида .

Примеры 5.2. Вычислить пределы:

1) (второй замечательный предел).

2) .

Решение: Умножим и поделим показатель степени на 2, чтобы образовать второй замечательный предел:

.

3) .

Решение: Умножим и поделим показатель степени на -6, чтобы образовать второй замечательный предел:

.

4) .

Решение: Умножим и поделим показатель степени на , чтобы образовать второй замечательный предел:

В последних равенствах воспользовались соответствующей теоремой о предельном переходе и тем, что .

5) .

Решение: Так как и , то имеем неопределенность . Для того чтобы привести ко второму замечательному пределу, преобразуем функцию под знаком предела:

В последних равенствах воспользовались соответствующей теоремой о предельном переходе и тем, что .

6) .

Решение: При показатель степени стремится к бесконечности, а второе слагаемое суммы в скобках стремится к нулю, т.е. имеем неопределенность . Для ее раскрытия сделаем замену переменных:

.

7) .

Решение: Так как , а , то имеем неопределенность . Для того чтобы привести ко второму замечательному пределу, преобразуем функцию под знаком предела к соответствующему виду, после чего сделаем замену переменных:

Замечание 5.2. При вычислении пределов также полезно использовать следующие следствияиз второго замечательного предела (здесь – постоянные числа):

1. .	2. .	3. .
4. .	5. .

Задания для самостоятельной работыпо теме «Замечательные пределы».

Задание 1. Пользуясь первым замечательным пределом, найти следующие пределы:

1.1. .	1.2. .	1.3. .
1.4. .	1.5. .	1.6. .
1.7. .	1.8. .	1.9. .
1.10. .	1.11. .	1.12. .
1.13. .	1.14. .	1.15. .
1.16. .	1.17.	1.18. .
1.19. .	1.20. .	1.21. .

Задание 2. Пользуясь вторым замечательным пределом, найти следующие пределы:

2.1. .	2.2. .	2.3. .
2.4. .	2.5. .	2.6. .
2.7. .	2.8. .	2.9. .
2.10. .	2.11.	2.12. .
2.13. .	2.14. .	2.15. .
2.16. .	2.17. .	2.18. .