Задания для самостоятельной работыпо теме «Предел функции».
Задание 1. Используя определение предела, доказать, что:
1.1.
|
1.2.
|
1.3.
|
1.4.
|
1.5.
|
1.6.
|
1.7.
|
1.8.
|
1.9.
|
.
.
.
.
.
.
.
.
.Задание 2. Найти пределы:
2.1.
|
2.2.
|
2.3.
|
2.4.
|
2.5.
|
2.6.
|
2.7.
|
2.8.
|
2.9.
|
2.10. |
2.11. |
2.12.
|
2.13.
|
2.14.
|
2.15.
|
2.16.
|
2.17.
|
2.18.
|
2.19.
|
2.20.
|
2.21.
|
2.22.
|
2.23.
|
2.24.
|
2.25.
|
2.26. |
2.27.
|
2.28.
|
2.29.
|
2.30.
|
2.31.
|
2.32.
|
2.33.
|
2.34.
|
2.35. |
2.36.
|
2.37.
|
2.38.
|
2.39.
|
2.40.
|
2.41.
|
2.42. |
2.43. |
2.44. |
2.45.
|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Задание 3. Найти односторонние пределы:
3.1.
|
3.2.
|
3.3.
|
3.4.
|
3.5.
|
3.6.
|
3.7.
|
3.8.
|
3.9.
|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Тема5. Замечательные пределы. Первый замечательный предел.
Определение 5.1. Первый замечательный предел – это предел вида
.
Данный предел часто используют при вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции и имеющих неопределенность . В этих случаях с помощью преобразований выражения под знаком предела необходимо привести его к виду первого замечательного предела, т.е. к отношению синуса некоторого аргумента к этому аргументу при стремлении последнего к нулю.
Примеры 5.1. Вычислить пределы:
1)
(первый замечательный предел).
2)
.
Решение: Умножим числитель и знаменатель дроби на 3, чтобы образовать первый замечательный предел:
.
3)
.
Решение:
Умножим
числитель и знаменатель дроби на
,
чтобы образовать первый замечательный
предел:
.
4)
.
Решение: Для того чтобы образовать первый замечательный предел, сперва преобразуем числитель дроби с помощью тригонометрических тождеств:
5)
.
Решение: Для того чтобы привести к первому замечательному пределу, сперва сделаем замену переменных:
Замечание
5.1.
При вычислении пределов также полезно
использовать следующие следствияиз
первого замечательного предела (здесь
–
постоянные числа):
1.
|
2.
|
3.
|
4.
|
5.
|
6.
|
.
.
.
.
.
.