Теоремы о предельном переходе.
Пусть функция имеет конечный предел в точке . Тогда справедливы следующие равенства:
1.
.
2.
.
3.
(
).
4.
(
).
Аналогичные равенства будут иметь место, если или .
Некоторые приемы раскрытия неопределенностей при вычислении пределов.
Если
подставить предельное значение аргумента
в функцию, предел которой необходимо
вычислить, то можно получить различные
виды так называемых неопределенностей
или неопределенных выражений:
.
Поэтому при вычислении пределов
первоочередная задача – это раскрыть
подобного рода неопределенности или,
другими словами, избавиться от них.
Рассмотрим некоторые приемы раскрытия
основных типов неопределенностей.
I. Если требуется вычислить предел отношения двух многочленов или комбинаций степенных функций при , то необходимо числитель и знаменатель этого отношения разделить на в старшей степени.
Примеры 4.4. Вычислить пределы:
1)
.
Решение:
В
данном примере имеем дело с неопределенностью
:
числитель и знаменатель стремятся к
бесконечности при
.
Для ее раскрытия поделим числитель и
знаменатель на
в старшей степени, т.е. на
,
и воспользуемся основными теоремами о
пределах функции:
В
последних равенствах учли, что предел
константы – константа, а функции
– бесконечно малые при
.
2)
.
Решение:
В
данном примере также имеем дело с
неопределенностью
:
числитель и знаменатель стремятся к
бесконечности при
.
Для ее раскрытия поделим числитель и
знаменатель на
в старшей степени, т.е. на
,
и воспользуемся далее основными теоремами
о пределах функции:
В последнем равенстве также воспользовались соответствующей теоремой о бесконечно малых и бесконечно больших функциях.
3)
.
Решение:Вначале для вычисления предела применим теорему о предельном переходе, а затем для того, чтобы раскрыть неопределенность ,поделим числитель и знаменатель на в старшей степени, т.е.на , после чего применим основные теоремы о пределах функции:
В
последних равенствах учли, что предел
константы – константа, а функции
при
.
II.
Если
требуется вычислить предел отношения
двух многочленовпри
,
каждый из которых стремится к нулю при
этом же условии, то необходимо в числителе
и знаменателе выделить множитель
и затем сократить дробь на данный
множитель.
Примеры 4.5. Вычислить пределы:
1)
.
Решение:
В
данном примере имеем дело с неопределенностью
:
числитель и знаменатель стремятся к
нулю при
.
Дляее раскрытия разобъем многочлены в
числителе и знаменателе на множители
и далее сократим их на общий множитель
:
.
В
последних равенствах воспользовались
непрерывностью функции в точке (см. тему
«Непрерывность функции.Точки разрыва»):
для непрерывной функции
в точке
выполняется равенство
.
2)
.
Решение: Аналогично решению предыдущего примера:
Пример
4.6. Вычислить
предел
.
Решение: Функция под знаком предела содержит иррациональности. Приведем ее к рациональному виду с помощью замены переменной.
III. Если требуется вычислить предел отношения двух функций, содержащих иррациональные выражения, то необходимо числитель и знаменатель домножить на выражение, сопряженное по отношению к иррациональному выражению, и затем воспользоваться формулой разности квадратов (или разности кубов).
Примеры 4.7. Вычислить пределы:
1)
.
Решение:
В
данном примере имеем дело с неопределенностью
:
числитель и знаменатель стремятся к
нулю при
.Для
ее раскрытия домножим числитель и
знаменатель на выражение
,
которое является сопряженнымпо отношению
к числителю, тем самым дополним числитель
до формулы разности квадратов:
2)
.
Решение:
В
данном примере имеем дело с неопределенностью
:
первое и второе слагаемые стремятся к
бесконечности при
.Для
ее раскрытия умножим и поделим выражениепод
пределом на
,
после чего воспользуемся формулой
разности квадратов:
В последнем равенстве также воспользовались соответствующей теоремой о бесконечно малых и бесконечно больших функциях.
3)
.
Решение:
В
данном примере при
приходим к неопределенности
.
Для ее раскрытия также умножим и поделим
выражение под пределом на сопряженное
по отношению к нему выражение, и снова
воспользуемся формулой разности
квадратов:
